北京交通大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3、设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个连续周期函数，周期为 $\displaystyle p>0$ ，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} f(t) \mathrm{d} t .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分区间按周期分解
设 $x = np + r$，其中 $n = \lfloor x/p \rfloor$ 是整数，$0 \le r < p$。则积分可分解为整周期部分和余数部分：
$$
\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^{np} f(t)\,dt + \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt.
$$
公式：$x = np + r$
提示：注意 $n$ 是向下取整得到的整数，$r$ 是余数，范围 $[0,p)$。
步骤 2/5
目标：利用周期性简化整周期部分
由于 $f$ 周期为 $p$，在每个长度为 $p$ 的区间上的积分相等：
$$
\int_{kp}^{(k+1)p} f(t)\,dt = \int_0^p f(t)\,dt, \quad k=0,1,\dots,n-1.
$$
因此前 $n$ 个完整周期的积分和为：
$$
\int_0^{np} f(t)\,dt = n \int_0^p f(t)\,dt.
$$
于是：
$$
\int_0^x f(t)\,dt = n \int_0^p f(t)\,dt + \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt.
$$
公式：$\int_0^{np} f(t)\,dt = n \int_0^p f(t)\,dt$
提示：周期性是核心，确保每个周期积分相同。
步骤 3/5
目标：写出极限表达式并处理系数
考虑平均值：
$$
\frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{x} \int_0^p f(t)\,dt + \frac{1}{x} \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt.
$$
由 $x = np + r$ 得：
$$
\frac{n}{x} = \frac{n}{np + r} = \frac{1}{p + r/n}.
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$n \to \infty$，$r/n \to 0$，所以 $\frac{n}{x} \to \frac{1}{p}$。
公式：$\frac{n}{x} = \frac{1}{p + r/n}$
提示：注意 $r$ 有界，$r/n \to 0$ 是关键。
步骤 4/5
目标：处理余项部分
由于 $f$ 连续且周期，在 $[0,p]$ 上有界，设 $|f(t)| \le M$。则余项积分满足：
$$
\left| \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt \right| \le M \cdot r \le M p.
$$
因此：
$$
\left| \frac{1}{x} \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt \right| \le \frac{Mp}{x}.
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{Mp}{x} \to 0$，故余项趋于 $0$。
公式：$\left| \frac{1}{x} \int_{np}^{np+r} f(t)\,dt \right| \le \frac{Mp}{x}$
提示：有界性来自连续函数在闭区间上的性质，注意 $r < p$。
步骤 5/5
目标：取极限得到结论
综合以上，得：
$$
\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{p} \int_0^p f(t)\,dt + 0 = \frac{1}{p} \int_0^p f(t)\,dt.
$$
即原极限等式成立。
公式：$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{p} \int_0^p f(t)\,dt$
提示：极限过程要确保两部分分别处理，余项必须趋于0。
步骤 6/6
目标：分析第二项的极限并得出结论
由于 $f$ 在 $[0,p]$ 上连续，故有界，设 $|f(t)| \le M$ 对所有 $t \in [0,p]$ 成立。则：
$$\left| \frac{1}{np+r} \int_0^r f(t) \, dt \right| \le \frac{1}{np} \cdot M p = \frac{M}{n} \to 0 \quad (n \to \infty).$$
因此第二项趋于 $0$。由极限加法，得：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = \frac{1}{p} \int_0^p f(t) \, dt.$$
公式：$$\left| \frac{1}{np+r} \int_0^r f(t) \, dt \right| \le \frac{M}{n} \to 0$$
提示：利用 $f$ 的有界性放缩余项，注意分母 $np+r \ge np$，确保放缩方向正确。
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