北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=d$ ，䧈， $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用左极限定义，证明函数在左端点附近有界
由 $\lim_{x \to a^+} f(x) = c$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $a < x < a + \delta_1$ 时，有 $|f(x) - c| < 1$，即 $c - 1 < f(x) < c + 1$。因此 $f(x)$ 在 $(a, a+\delta_1)$ 上有界。
公式：$|f(x) - c| < 1$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取是任意的，取 $1$ 是为了方便得到具体的界。
步骤 2/4
目标：利用无穷远极限定义，证明函数在无穷远处有界
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = d$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $M > 0$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f(x) - d| < 1$，即 $d - 1 < f(x) < d + 1$。因此 $f(x)$ 在 $(M, +\infty)$ 上有界。
公式：$|f(x) - d| < 1$
提示：这里 $M$ 可能很大，但它是有限数，确保后续闭区间的构造可行。
步骤 3/4
目标：构造闭区间并利用连续函数的有界性定理
考虑闭区间 $[a+\delta_1, M]$。由于 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上连续，故在 $[a+\delta_1, M]$ 上连续。根据闭区间上连续函数的有界性定理，存在常数 $K > 0$，使得对任意 $x \in [a+\delta_1, M]$，有 $|f(x)| \leq K$。
公式：$|f(x)| \leq K, \quad x \in [a+\delta_1, M]$
提示：注意 $a+\delta_1$ 必须小于 $M$，否则需要调整 $\delta_1$ 或 $M$，但极限定义保证了可以取到合适的值。
步骤 4/4
目标：综合三段区间，证明整体有界
将定义域 $(a, +\infty)$ 分为三段：$(a, a+\delta_1)$、$[a+\delta_1, M]$、$(M, +\infty)$。分别有界，界分别为 $\max\{|c-1|, |c+1|\}$、$K$、$\max\{|d-1|, |d+1|\}$。取 $B = \max\{|c-1|, |c+1|, K, |d-1|, |d+1|\}$，则对任意 $x \in (a, +\infty)$，有 $|f(x)| \leq B$，即 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上有界。
公式：$B = \max\{|c-1|, |c+1|, K, |d-1|, |d+1|\}$
提示：注意 $c$ 和 $d$ 是有限实数，因此 $|c-1|$ 和 $|c+1|$ 都是有限数，$B$ 是有限数。
步骤 5/6
目标：综合整个区间得到全局有界性
取 $B = \max\{ |c|+1, |d|+1, K \}$。则对于任意 $x \in (a, +\infty)$：
- 若 $x \in (a, a+\delta_1)$，则 $|f(x)| < |c|+1 \leq B$；
- 若 $x \in [a+\delta_1, M]$，则 $|f(x)| \leq K \leq B$；
- 若 $x \in (M, +\infty)$，则 $|f(x)| < |d|+1 \leq B$。
因此对所有 $x \in (a, +\infty)$，有 $|f(x)| \leq B$，即 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上有界。
公式：B = \max\{ |c|+1, |d|+1, K \}
提示：注意 $B$ 是有限数，因为 $c, d, K$ 均为有限数。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，函数 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上连续且两端极限存在（有限），则它在 $(a, +\infty)$ 上有界。证毕。
提示：该结论是连续函数有界性的典型应用，注意极限存在是局部有界的前提。
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