📝 北京工业大学 2013年数学分析真题

一．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=d$ ，䧈， $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。

八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

三．（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续。

九．（15 分）计算下列二质积分 $\displaystyle \iint_{j}|\cos (x+y)| d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=\pi \leq j$ 两坐标轴所围成的三向形区域。

二．（15 分）当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ 。
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六．（15分）利用有限覆盖定理证明下述结论：如果 $D$ 是平面 $\displaystyle R^{2}$ 上的有界闭区域且函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $D$ 连续，则函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $D$ 有界。

十．（15 分）设空间区域 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 围成，其 $\displaystyle 11 \Omega$ 的表血再外侧为 $\displaystyle S, \Omega$ 的体积为 $V$ ，证明：$\displaystyle \oiint_{S} x^{2} y z^{2} d y d z-x y^{2} z^{2} d z d x+z(1+x y z) d x d y=V^{\prime}$ 。

四．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ， $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ 。
五。（15 分）已知 $\displaystyle p>0$ ，当 $p$ 与 $q$ 满足什么关系时，方程 $\displaystyle x^{3}=3 p x+q$ 恰有三个实根。