北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）计算下列二质积分 $\displaystyle \iint_{j}|\cos (x+y)| d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=\pi \leq j$ 两坐标轴所围成的三向形区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确积分区域
由直线 $x=0$、$y=0$ 和 $x+y=\pi$ 围成的三角形区域，顶点为 $(0,0)$、$(\pi,0)$、$(0,\pi)$。区域可表示为：$0 \le x \le \pi$，$0 \le y \le \pi - x$。
公式：D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le \pi,\; 0 \le y \le \pi - x \}
提示：注意积分区域是直角三角形，边界直线为 $x+y=\pi$。
步骤 2/7
目标：分析被积函数中的绝对值
令 $t = x+y$，在 $t \in [0,\pi]$ 上，$\cos t$ 在 $[0,\pi/2)$ 为正，在 $(\pi/2,\pi]$ 为负。因此需分段：当 $x+y \le \pi/2$ 时，$|\cos(x+y)| = \cos(x+y)$；当 $\pi/2 \le x+y \le \pi$ 时，$|\cos(x+y)| = -\cos(x+y)$。
公式：|\cos(x+y)| = \begin{cases} \cos(x+y), & x+y \le \pi/2 \\ -\cos(x+y), & x+y \ge \pi/2 \end{cases}
提示：注意 $\cos$ 在 $\pi/2$ 处变号，绝对值处理要小心。
步骤 3/7
目标：将区域分成两部分
用直线 $x+y = \pi/2$ 将 $D$ 分为 $D_1$ 和 $D_2$：
- $D_1$：$0 \le x \le \pi/2$，$0 \le y \le \pi/2 - x$；
- $D_2$：剩余部分，即 $x+y$ 从 $\pi/2$ 到 $\pi$。具体描述：当 $0 \le x \le \pi/2$ 时，$y$ 从 $\pi/2 - x$ 到 $\pi - x$；当 $\pi/2 \le x \le \pi$ 时，$y$ 从 $0$ 到 $\pi - x$。
公式：D_1 = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le \pi/2,\; 0 \le y \le \pi/2 - x \} \\ D_2 = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le \pi/2,\; \pi/2 - x \le y \le \pi - x \} \cup \{ (x,y) \mid \pi/2 \le x \le \pi,\; 0 \le y \le \pi - x \}
提示：分段时注意 $x$ 的范围不同，$y$ 的上下限要准确。
步骤 4/7
目标：计算第一部分积分 $I_1$
$$I_1 = \iint_{D_1} \cos(x+y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{\pi/2} \int_{y=0}^{\pi/2 - x} \cos(x+y)\,dy\,dx.$$ 内层积分：$$\int_0^{\pi/2 - x} \cos(x+y)\,dy = \sin(x+y)\Big|_{y=0}^{\pi/2 - x} = \sin(\pi/2) - \sin x = 1 - \sin x.$$ 外层积分：$$I_1 = \int_0^{\pi/2} (1 - \sin x)\,dx = \left[ x + \cos x \right]_0^{\pi/2} = \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1.$$
公式：I_1 = \frac{\pi}{2} - 1
提示：内层积分注意换元或直接积分，外层积分时小心 $\cos x$ 的原函数。
步骤 5/7
目标：计算第二部分积分 $I_2$（段1）
段1：$0 \le x \le \pi/2$，$y$ 从 $\pi/2 - x$ 到 $\pi - x$。内层积分：$$\int_{y=\pi/2 - x}^{\pi - x} (-\cos(x+y))\,dy = -\int_{\pi/2 - x}^{\pi - x} \cos(x+y)\,dy.$$ 令 $u = x+y$，则 $du = dy$，当 $y = \pi/2 - x$ 时 $u = \pi/2$，当 $y = \pi - x$ 时 $u = \pi$，于是：$$-\int_{u=\pi/2}^{\pi} \cos u\,du = -[\sin u]_{\pi/2}^{\pi} = -(\sin\pi - \sin(\pi/2)) = -(0 - 1) = 1.$$ 对 $x$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 积分得：$$\int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}.$$
公式：\int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}
提示：换元时注意积分限的变化，$\sin\pi=0$，$\sin(\pi/2)=1$。
步骤 6/7
目标：计算第二部分积分 $I_2$（段2）
段2：$\pi/2 \le x \le \pi$，$y$ 从 $0$ 到 $\pi - x$。内层积分：$$\int_{y=0}^{\pi - x} (-\cos(x+y))\,dy = -\int_0^{\pi - x} \cos(x+y)\,dy.$$ 令 $u = x+y$，则 $du = dy$，当 $y=0$ 时 $u=x$，当 $y=\pi-x$ 时 $u=\pi$，于是：$$-\int_{x}^{\pi} \cos u\,du = -[\sin u]_{x}^{\pi} = -(\sin\pi - \sin x) = - (0 - \sin x) = \sin x.$$ 对 $x$ 从 $\pi/2$ 到 $\pi$ 积分：$$\int_{\pi/2}^{\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos(\pi/2)) = (-(-1)) - (0) = 1.$$ 因此 $I_2 = \frac{\pi}{2} + 1$。
公式：I_2 = \frac{\pi}{2} + 1
提示：注意 $\cos\pi = -1$，$\cos(\pi/2)=0$，符号不要弄错。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
原积分 $I = I_1 + I_2 = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + \left(\frac{\pi}{2} + 1\right) = \pi$。
公式：\iint_{D} |\cos(x+y)|\,dx\,dy = \pi
提示：两部分相加时 $-1$ 和 $+1$ 抵消，结果简洁。
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