北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）设空间区域 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 围成，其 $\displaystyle 11 \Omega$ 的表血再外侧为 $\displaystyle S, \Omega$ 的体积为 $V$ ，证明：$\displaystyle \oiint_{S} x^{2} y z^{2} d y d z-x y^{2} z^{2} d z d x+z(1+x y z) d x d y=V^{\prime}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
区域 $\Omega$ 由曲面 $z = a^2 - x^2 - y^2$ 与平面 $z = 0$ 围成，$S$ 是 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧，$V$ 是 $\Omega$ 的体积。要证明：
$$\oiint_{S} x^2 y z^2 \, dy\,dz - x y^2 z^2 \, dz\,dx + z(1+xyz) \, dx\,dy = V$$
公式：$$\oiint_{S} x^2 y z^2 \, dy\,dz - x y^2 z^2 \, dz\,dx + z(1+xyz) \, dx\,dy = V$$
提示：注意题目中可能存在的笔误，如'表血'应为'表面'，'V′'应为'V'。
步骤 2/6
目标：应用高斯散度定理
高斯散度定理：对于封闭曲面外侧，有
$$\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$
对照题目，令
$$P = x^2 y z^2, \quad Q = -x y^2 z^2, \quad R = z(1+xyz)$$
公式：$$\oiint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$
提示：注意第二项是 $-x y^2 z^2 \, dz\,dx$，因此 $Q = -x y^2 z^2$，不要遗漏负号。
步骤 3/6
目标：计算散度
分别求偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y z^2) = 2x y z^2$$
$$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x y^2 z^2) = -2x y z^2$$
$$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(z + x y z^2) = 1 + 2x y z$$
求和得：
$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2x y z^2 - 2x y z^2 + 1 + 2x y z = 1 + 2x y z$$
公式：$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 1 + 2xyz$$
提示：计算偏导时注意 $R$ 中 $z(1+xyz) = z + xyz^2$，对 $z$ 求导得 $1 + 2xyz$。
步骤 4/6
目标：由高斯定理得到三重积分形式
由高斯定理，原曲面积分等于
$$\iiint_{\Omega} (1 + 2xyz) \, dV$$
要证明它等于 $V$，即需证明
$$\iiint_{\Omega} (1 + 2xyz) \, dV = \iiint_{\Omega} 1 \, dV$$
等价于
$$\iiint_{\Omega} 2xyz \, dV = 0$$
公式：$$\oiint_{S} \cdots = \iiint_{\Omega} (1 + 2xyz) \, dV$$
提示：注意 $V = \iiint_{\Omega} 1 \, dV$，因此只需证明 $\iiint_{\Omega} 2xyz \, dV = 0$。
步骤 5/6
目标：利用对称性证明三重积分为零
区域 $\Omega$ 由 $z = a^2 - x^2 - y^2$ 和 $z=0$ 围成，关于 $x$ 和 $y$ 均对称（因为 $z$ 只依赖于 $x^2+y^2$，且 $x,y$ 的取值范围关于原点对称）。被积函数 $xyz$ 关于 $x$ 是奇函数（固定 $y,z$ 时），在对称区域上积分为零；同理关于 $y$ 也是奇函数。因此
$$\iiint_{\Omega} xyz \, dV = 0$$
从而
$$\iiint_{\Omega} 2xyz \, dV = 0$$
公式：$$\iiint_{\Omega} xyz \, dV = 0$$
提示：对称性分析：区域关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称，$xyz$ 对 $x$ 或 $y$ 为奇函数，积分结果为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此原曲面积分等于
$$\iiint_{\Omega} 1 \, dV = V$$
即
$$\oiint_{S} x^2 y z^2 \, dy\,dz - x y^2 z^2 \, dz\,dx + z(1+xyz) \, dx\,dy = V$$
证毕。
公式：$$\oiint_{S} x^2 y z^2 \, dy\,dz - x y^2 z^2 \, dz\,dx + z(1+xyz) \, dx\,dy = V$$
提示：最终结果与题目要求一致，注意检查符号和积分顺序。
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