北京工业大学 2013年数学分析第0题

对于定义在无限区间上的函数，一个常用方法是看它的导数是否有界。如果函数在区间上可导且导数的绝对值有上界，那么它在该区间上满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。所以我们先求导。

对 $f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1$ 求导，得 $f'(x) = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} = \frac{x(2-x)}{e^x}$。我们要看它在 $[1, +\infty)$ 上是否有界。当 $x \ge 1$ 时，分子 $2x - x^2$ 在 $x=1$ 时值为 $1$，在 $x=2$ 时为零，之后变成负数，绝对值先增大再减小。分母 $e^x$ 增长很快，所以当 $x$ 很大时，导数趋于 $0$。因此只需检查最大值。

令 $g(x) = \frac{2x - x^2}{e^x}$，求导得 $g'(x) = \frac{(2-2x)e^x - (2x - x^2)e^x}{e^{2x}} = \frac{2-2x - 2x + x^2}{e^x} = \frac{x^2 - 4x + 2}{e^x}$。令 $g'(x)=0$，得 $x^2 - 4x + 2 = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{2}$。在区间 $[1,+\infty)$ 上，$2-\sqrt{2} \approx 0.586$（不在区间内），$2+\sqrt{2} \approx 3.414$（在区间内）。因此极值点可能出现在端点 $x=1$ 或 $x=2+\sqrt{2}$。计算：$f'(1) = \frac{2-1}{e} = \frac{1}{e} \approx 0.3679$；在 $x=2+\sqrt{2}$ 处，$f'(2+\sqrt{2}) = \frac{(2+\sqrt{2})(2 - (2+\sqrt{2}))}{e^{2+\sqrt{2}}} = \frac{(2+\sqrt{2})(-\sqrt{2})}{e^{2+\sqrt{2}}}$，其绝对值为 $\frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{e^{2+\sqrt{2}}}$，估算得约 $0.159$，小于 $\frac{1}{e}$。因此最大值在 $x=1$ 处取得，为 $\frac{1}{e}$。所以对所有 $x \ge 1$，有 $|f'(x)| \le \frac{1}{e}$。

因为导数在 $[1,+\infty)$ 上有界，由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1, x_2 \in [1,+\infty)$，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)||x_1-x_2| \le \frac{1}{e}|x_1-x_2|$。这说明函数满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。

因此，函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续得证。

由Lipschitz条件，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = e\varepsilon$，则当 $|x_1-x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)| \le \frac{1}{e}|x_1-x_2| < \varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。