北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
六．（15分）利用有限覆盖定理证明下述结论：如果 $D$ 是平面 $\displaystyle R^{2}$ 上的有界闭区域且函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $D$ 连续，则函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $D$ 有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和证明目标
已知：
- $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域（即有界且闭）。
- $f: D \to \mathbb{R}$ 是连续函数。
要证明：$f$ 在 $D$ 上有界，即存在常数 $M > 0$，使得对任意 $(x,y) \in D$，有 $|f(x,y)| \le M$。
提示：注意有界闭区域的定义：有界性保证存在一个包含D的大圆盘，闭性保证极限点都在D内。
步骤 2/5
目标：利用连续性构造局部有界邻域
因为 $f$ 在 $D$ 上连续，所以对每一点 $P \in D$，取 $\varepsilon = 1$，存在 $\delta_P > 0$，使得当 $Q \in D$ 且 $|Q - P| < \delta_P$ 时，有 $|f(Q) - f(P)| < 1$。
于是，在这个邻域内，由三角不等式得：
$$|f(Q)| \le |f(P)| + 1.$$
考虑所有这样的开圆盘 $\{ B(P, \delta_P) : P \in D \}$，它们显然覆盖了 $D$。
公式：|f(Q)| \le |f(P)| + 1, \quad \forall Q \in B(P, \delta_P) \cap D
提示：这里取ε=1是为了方便，实际上取任何正数都可以，但取1能简化后续的M构造。
步骤 3/5
目标：应用有限覆盖定理选取有限子覆盖
由于 $D$ 是有界闭集，根据有限覆盖定理（海涅-博雷尔定理在 $\mathbb{R}^2$ 上的形式），从上述开覆盖 $\{ B(P, \delta_P) : P \in D \}$ 中可以选出有限个开圆盘：
$$B(P_1, \delta_{P_1}), B(P_2, \delta_{P_2}), \dots, B(P_n, \delta_{P_n})$$
仍然覆盖 $D$。即 $D \subseteq \bigcup_{k=1}^n B(P_k, \delta_{P_k})$。
公式：D \subseteq \bigcup_{k=1}^n B(P_k, \delta_{P_k})
提示：有限覆盖定理的关键在于D必须是有界闭集，缺一不可。开覆盖必须是由开集组成的覆盖。
步骤 4/5
目标：构造全局上界并证明有界性
对每个选出的中心点 $P_k$，在其邻域内，函数值满足：
$$|f(Q)| \le |f(P_k)| + 1, \quad \forall Q \in B(P_k, \delta_{P_k}) \cap D.$$
令 $M_k = |f(P_k)| + 1$，并取 $M = \max\{ M_1, M_2, \dots, M_n \}$。
由于 $D$ 中任意一点 $Q$ 至少属于某一个 $B(P_k, \delta_{P_k})$，因此
$$|f(Q)| \le M_k \le M.$$
这就证明了 $f$ 在 $D$ 上有界。
公式：M = \max_{1 \le k \le n} (|f(P_k)| + 1)
提示：注意M是有限个数的最大值，因此是有限实数。不能取无穷多个数的最大值，这正是有限覆盖定理的作用。
步骤 5/5
目标：总结证明思路
我们通过连续性得到每一点的局部有界性（存在一个邻域使函数值不超过 $|f(P)|+1$），再用有限覆盖定理从无限多个邻域中选出有限个仍然覆盖 $D$，从而将局部有界性推广到整个有界闭集上，得到全局有界性。
提示：这种“局部性质 + 有限覆盖 → 全局性质”是数学分析中非常经典的方法，常用于证明一致连续性、有界性等。
步骤 6/6
目标：结论
通过有限覆盖定理，由连续函数的局部有界性推出其在有界闭区域上的整体有界性，证毕。
提示：该证明体现了从局部到整体的思想，是有限覆盖定理的典型应用。
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