北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ， $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ 。
五。（15 分）已知 $\displaystyle p>0$ ，当 $p$ 与 $q$ 满足什么关系时，方程 $\displaystyle x^{3}=3 p x+q$ 恰有三个实根。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并分析端点值
令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。计算：$g(0)=f(0)-0=0$，$g(1)=f(1)-1=-1$，$g(\frac12)=f(\frac12)-\frac12=1-\frac12=\frac12>0$。
公式：$g(x)=f(x)-x$
提示：注意 $g(\frac12)>0$ 而 $g(1)<0$，符号相反。
步骤 2/7
目标：利用零点定理找到 $g(c)=0$ 的点
由于 $g(\frac12)=\frac12>0$，$g(1)=-1<0$，由连续函数零点定理，存在 $c\in(\frac12,1)$ 使得 $g(c)=0$。
公式：$\exists c\in(\frac12,1),\; g(c)=0$
提示：零点定理要求区间端点函数值异号。
步骤 3/7
目标：应用罗尔定理
已知 $g(0)=0$，$g(c)=0$，且 $g$ 在 $[0,c]$ 上连续，在 $(0,c)$ 内可导，由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,c)$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：$g'(\xi)=0$
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等。
步骤 4/7
目标：推导 $f'(\xi)=1$
由 $g'(x)=f'(x)-1$，代入 $\xi$ 得 $f'(\xi)-1=0$，即 $f'(\xi)=1$。由于 $\xi\in(0,c)\subset(0,1)$，结论成立。
公式：$f'(\xi)=1$
提示：注意 $\xi$ 的范围是 $(0,1)$ 的子区间。
步骤 5/7
目标：将方程化为标准三次函数形式
方程 $x^3=3px+q$ 移项得 $x^3-3px-q=0$。令 $F(x)=x^3-3px-q$，则问题转化为 $F(x)=0$ 恰有三个实根。
公式：$F(x)=x^3-3px-q$
提示：三次函数实根个数由极值符号决定。
步骤 6/7
目标：求导并找出极值点
$F'(x)=3x^2-3p=3(x^2-p)$。令 $F'(x)=0$，得 $x=\pm\sqrt{p}$（$p>0$）。$x=-\sqrt{p}$ 为极大值点，$x=\sqrt{p}$ 为极小值点。
公式：$F'(x)=3(x^2-p)$
提示：注意 $p>0$ 保证两个不同的实极值点。
步骤 7/7
目标：计算极值并确定恰有三个实根的条件
极大值 $F(-\sqrt{p})=2p\sqrt{p}-q$，极小值 $F(\sqrt{p})=-2p\sqrt{p}-q$。方程恰有三个实根的充要条件是极大值 $>0$ 且极小值 $<0$，即 $2p\sqrt{p}-q>0$ 且 $-2p\sqrt{p}-q<0$，整理得 $-2p\sqrt{p}
公式：$-2p^{3/2}
提示：注意 $p\sqrt{p}=p^{3/2}$，且区间非空。
步骤 8/8
目标：解不等式组得到p与q的关系
由条件得：
$F(-\sqrt{p}) > 0 \Rightarrow 2p\sqrt{p} - q > 0 \Rightarrow q < 2p\sqrt{p}$，
$F(\sqrt{p}) < 0 \Rightarrow -2p\sqrt{p} - q < 0 \Rightarrow q > -2p\sqrt{p}$。
合并得：$-2p\sqrt{p} < q < 2p\sqrt{p}$。
公式：-2p√p < q < 2p√p
提示：当 $q$ 恰好等于边界值时，方程有重根，此时只有两个实根（或一个三重根），不符合“恰有三个实根”的要求。
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