北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ 。
。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数，将不等式转化为函数正值问题
设函数 \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} - \ln(1+x) \)，其中 \( x > 0 \)。要证明原不等式成立，只需证明 \( f(x) > 0 \) 对一切 \( x > 0 \) 成立。
公式：f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} - \ln(1+x)
提示：构造函数是比较两个函数大小的常用技巧，通过作差转化为研究函数的符号。
步骤 2/5
目标：求导数，分析函数单调性
计算 \( f'(x) \)：
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{\sqrt{1+x}} \right) - \frac{1}{1+x}
\]
先求第一项的导数，使用商法则或乘积法则：
\[
\frac{d}{dx}\left( \frac{x}{\sqrt{1+x}} \right) = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1+x} = \frac{ \frac{1+x - \frac{x}{2}}{\sqrt{1+x}} }{1+x} = \frac{1 + \frac{x}{2}}{(1+x)^{3/2}} = \frac{2+x}{2(1+x)^{3/2}}
\]
因此
\[
f'(x) = \frac{2+x}{2(1+x)^{3/2}} - \frac{1}{1+x}
\]
公式：f'(x) = \frac{2+x}{2(1+x)^{3/2}} - \frac{1}{1+x}
提示：求导时注意分母的处理，将 \( \frac{1}{1+x} \) 转化为与第一项同分母的形式以便合并。
步骤 3/5
目标：通分化简导数，判断符号
将第二项化为分母为 \( (1+x)^{3/2} \) 的形式：
\[
\frac{1}{1+x} = \frac{\sqrt{1+x}}{(1+x)^{3/2}}
\]
于是
\[
f'(x) = \frac{2+x - 2\sqrt{1+x}}{2(1+x)^{3/2}}
\]
令分子为 \( g(x) = 2 + x - 2\sqrt{1+x} \)，只需判断 \( g(x) \) 的符号。
公式：f'(x) = \frac{2+x - 2\sqrt{1+x}}{2(1+x)^{3/2}}
提示：通分时注意分母统一，分子化简后要仔细检查，避免代数错误。
步骤 4/5
目标：证明分子恒正
当 \( x > 0 \) 时，考虑平方比较：
\[
(2+x)^2 = 4 + 4x + x^2, \quad (2\sqrt{1+x})^2 = 4(1+x) = 4 + 4x
\]
显然 \( 4+4x+x^2 > 4+4x \)，所以 \( 2+x > 2\sqrt{1+x} \)，即 \( g(x) > 0 \)。
因此 \( f'(x) > 0 \) 对一切 \( x > 0 \) 成立。
公式：g(x) = 2 + x - 2\sqrt{1+x} > 0
提示：平方比较时注意两边均为正数，平方后不等号方向不变；也可通过移项平方或利用基本不等式证明。
步骤 5/5
目标：利用单调性和边界值得出结论
由于 \( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上严格递增。计算 \( x \to 0^+ \) 时的极限：
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0}{1} - \ln 1 = 0
\]
因此对任意 \( x > 0 \)，有 \( f(x) > f(0) = 0 \)，即
\[
\frac{x}{\sqrt{1+x}} > \ln(1+x)
\]
原不等式得证。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0, \quad f(x) > 0 \; (x>0)
提示：注意 \( x=0 \) 不在定义域内，但可用极限补充边界值；严格递增保证 \( f(x) > \lim_{x\to 0^+} f(x) \)。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，对于所有 $x>0$，不等式 $\ln(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ 成立。
公式：\ln(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}, \quad x>0
提示：证明完成，注意结论中 $x$ 的范围是 $x>0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。