北京工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。
八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：第七题：利用已知条件构造非负项级数
由已知条件，对每个 $n \in \mathbb{N}$，有 $a_n \le c_n \le b_n$，因此 $0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n$。
公式：$0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n$
提示：注意不等式方向，确保构造的级数非负。
步骤 2/6
目标：第七题：证明差级数收敛
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，它们的线性组合 $\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n)$ 也收敛。又因为 $c_n - a_n$ 非负且被 $b_n - a_n$ 控制，由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n)$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)$ 收敛
提示：比较判别法仅适用于非负项级数，这里 $c_n - a_n \ge 0$ 是关键。
步骤 3/6
目标：第七题：证明原级数收敛
将 $c_n$ 写为 $c_n = a_n + (c_n - a_n)$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)$，两个收敛级数的和仍收敛，故 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} c_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)$
提示：收敛级数的线性组合性质：若 $\sum A_n$ 和 $\sum B_n$ 收敛，则 $\sum (A_n + B_n)$ 也收敛。
步骤 4/6
目标：第八题：利用一致收敛性估计余项
设 $x_0 \in I$ 为任意一点。因为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得对所有 $x \in I$ 和所有 $m > N$，有 $\left| \sum_{n=N+1}^{\infty} u_n(x) \right| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall x \in I: \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} u_n(x) \right| < \frac{\varepsilon}{3}$
提示：一致收敛中 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$，这是关键。
步骤 5/6
目标：第八题：利用有限和连续性
记 $S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} u_n(x)$，由于每个 $u_n(x)$ 在 $I$ 上连续，$S_N(x)$ 也在 $I$ 上连续，特别在 $x_0$ 处连续。因此存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 且 $x \in I$ 时，$|S_N(x) - S_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$|S_N(x) - S_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$
提示：有限个连续函数的和仍连续，这是连续性基本性质。
步骤 6/6
目标：第八题：用 $\varepsilon/3$ 方法证明连续性
对满足 $|x - x_0| < \delta$ 且 $x \in I$ 的 $x$，有
$$
|f(x) - f(x_0)| \le |f(x) - S_N(x)| + |S_N(x) - S_N(x_0)| + |S_N(x_0) - f(x_0)|.
$$
由一致收敛性，第一项和第三项均小于 $\frac{\varepsilon}{3}$，第二项也小于 $\frac{\varepsilon}{3}$，因此 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $I$ 上连续。
公式：$|f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-S_N(x)| + |S_N(x)-S_N(x_0)| + |S_N(x_0)-f(x_0)|$
提示：$\varepsilon/3$ 方法是证明一致收敛级数和函数连续性的标准技巧，注意三项的估计来源。
步骤 7/8
目标：利用有限和函数的连续性
由于每个 $u_n(x)$ 连续，有限和 $S_N(x)$ 也在 $x_0$ 处连续。因此存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 且 $x \in I$ 时，$|S_N(x) - S_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$|S_N(x) - S_N(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$
提示：有限个连续函数的和仍连续，这是连续函数的基本性质。
步骤 8/8
目标：用 $\varepsilon/3$ 方法完成连续性证明
对任意满足 $|x - x_0| < \delta$ 的 $x \in I$，有
\[
|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - S_N(x)| + |S_N(x) - S_N(x_0)| + |S_N(x_0) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon
\]
由 $\varepsilon$ 的任意性，$f$ 在 $x_0$ 连续，进而 $f$ 在 $I$ 上连续。
公式：$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
提示：三角不等式是 $\varepsilon/3$ 方法的核心，注意每一步的估计范围。
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