北京工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
1．求证：$\displaystyle I(n)=\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ ；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出待证表达式
设 $I(n) = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$，需要证明 $I(n) = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$。
公式：$I(n) = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$
提示：确认 $I(n)$ 的定义是解题的前提，若题目未直接给出，需根据上下文推断。
步骤 2/5
目标：通分
将两个分数通分，公分母为 $n^2 (n+1)^2$：
$$
\frac{1}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2 (n+1)^2}, \quad \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n^2}{n^2 (n+1)^2}
$$
公式：$\frac{1}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2 (n+1)^2}$，$\frac{1}{(n+1)^2} = \frac{n^2}{n^2 (n+1)^2}$
提示：通分时注意分子分母同时乘以缺失的因式，避免漏乘。
步骤 3/5
目标：相减合并
将通分后的两个分数相减：
$$
I(n) = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2}
$$
公式：$I(n) = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2}$
提示：分母不变，分子直接相减，注意括号的使用。
步骤 4/5
目标：化简分子
展开并计算分子：
$$
(n+1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1
$$
公式：$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
提示：利用平方差公式 $(a+b)^2 - a^2 = 2ab + b^2$ 可快速得到结果，避免展开错误。
步骤 5/5
目标：代入得到结论
将化简后的分子代入分式：
$$
I(n) = \frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}
$$
即原等式得证。
公式：$I(n) = \frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}$
提示：最终结果需与题目要求一致，检查分母是否完全平方。
步骤 6/6
目标：直接验证恒等式
要证明$I(n)=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$，只需计算$\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$：
$\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{n^2+2n+1 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$。
因此，若$I(n)$定义为$\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$，则等式成立。若$I(n)$有其他定义（如求和或积分），则需根据具体定义重新推导。由于题目未提供定义，最合理的解答是直接证明该恒等式。
公式：$\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$
提示：这是最简洁的证明，适用于$I(n)$无明确定义的情况。注意通分时分子运算要仔细。
步骤 7/8
目标：修正定义
常见正确形式：$I(n) = \int_0^1 \frac{x^{2n}}{1+x} \, dx$，则 $I(1) = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} \, dx = \int_0^1 \left( x-1+\frac{1}{1+x} \right) dx = \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}$，而 $\frac{3}{4}$ 仍不匹配。故可能 $I(n)$ 为有理函数积分。
提示：需根据题目上下文确定定义。
步骤 8/8
目标：直接给出结论
由于题目未提供 $I(n)$ 定义，无法给出严格证明。但根据常见题型，$I(n) = \frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}$ 可通过递推或级数求和证明。
提示：实际解题时需先明确 $I(n)$ 定义。
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