📝 北京工业大学 2014年数学分析真题

1．求证：$\displaystyle I(n)=\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ ；

2．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} I(n)$ 的和。

+ ．（ 15 分，其中第一题 10 分，第二题 5 分）

1．证明函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

2．证明函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上非一致收敛。

六．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 都连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=6$ ，若无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) d x$ 绝对收敛，则无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 绝对收敛。

四．（15 分）半径为 $a$ 的球内有一球内接直圆柱，问直圆柱的底半径与高为多大时使直圆柱的体积最大？

五（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\displaystyle \phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可导且 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)=f(x)$ 。