北京工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）半径为 $a$ 的球内有一球内接直圆柱，问直圆柱的底半径与高为多大时使直圆柱的体积最大？
五（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\displaystyle \phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可导且 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)=f(x)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立圆柱底面半径与高的关系
设球的半径为 $a$，圆柱底面半径为 $r$，高为 $h$。由于圆柱内接于球，且圆柱的轴通过球心，从球心到圆柱底面边缘的距离满足勾股定理：圆柱的半高为 $\frac{h}{2}$，底面半径 $r$，球的半径 $a$ 满足 $r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = a^2$，即 $r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$。
公式：$r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$
提示：注意圆柱的轴必须通过球心，否则勾股定理不成立。
步骤 2/7
目标：写出圆柱体积函数
圆柱体积公式为 $V = \pi r^2 h$。将 $r^2$ 的表达式代入，得 $V(h) = \pi \left( a^2 - \frac{h^2}{4} \right) h = \pi \left( a^2 h - \frac{h^3}{4} \right)$，其中 $0 < h < 2a$。
公式：$V(h) = \pi \left( a^2 h - \frac{h^3}{4} \right)$
提示：注意定义域：$h$ 必须小于直径 $2a$，否则圆柱无法内接于球。
步骤 3/7
目标：求导数并令其为零
对 $V(h)$ 求导：$V'(h) = \pi \left( a^2 - \frac{3h^2}{4} \right)$。令 $V'(h) = 0$，得 $a^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$，解得 $h^2 = \frac{4a^2}{3}$，即 $h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$（负值舍去）。
公式：$V'(h) = \pi \left( a^2 - \frac{3h^2}{4} \right)$
提示：求导时注意系数不要算错，$\frac{d}{dh} \left( -\frac{h^3}{4} \right) = -\frac{3h^2}{4}$。
步骤 4/7
目标：求对应的底面半径
将 $h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ 代入 $r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$，得 $r^2 = a^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4a^2}{3} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$，所以 $r = a\sqrt{\frac{2}{3}}$。
公式：$r = a\sqrt{\frac{2}{3}}$
提示：半径取正值，且需检查是否满足 $r < a$。
步骤 5/7
目标：判断极值类型并给出答案
求二阶导数：$V''(h) = \pi \left( -\frac{3h}{2} \right)$。当 $h = \frac{2a}{\sqrt{3}} > 0$ 时，$V''(h) < 0$，故该点为极大值点，也是区间内唯一的最大值点。因此，当圆柱底面半径 $r = a\sqrt{\frac{2}{3}}$，高 $h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ 时，体积最大。
公式：$V''(h) = -\frac{3\pi h}{2}$
提示：二阶导数小于0是极大值的充分条件，注意检查定义域端点（$h \to 0$ 或 $h \to 2a$ 时体积趋于0）。
步骤 6/7
目标：证明积分上限函数的可导性（第五题）
任取 $x \in [a,b]$，给 $x$ 一个增量 $\Delta x$ 使得 $x+\Delta x \in [a,b]$，则 $\phi(x+\Delta x) - \phi(x) = \int_a^{x+\Delta x} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t) dt$。由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间，使得 $\int_x^{x+\Delta x} f(t) dt = f(\xi) \cdot \Delta x$。于是 $\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x} = f(\xi)$。
公式：$\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x} = f(\xi)$
提示：积分中值定理要求 $f$ 连续，这是关键前提。
步骤 7/7
目标：取极限得到导数公式
当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$。由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)$。因此 $\phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x} = f(x)$。在端点处考虑单侧极限，结论同样成立。
公式：$\phi'(x) = f(x), \forall x \in [a,b]$
提示：连续性保证了极限与函数值相等，这是微积分基本定理的核心。
步骤 8/8
目标：取极限得导数
于是 $\frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x} = f(\xi)$。当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$，由 $f$ 的连续性得 $f(\xi) \to f(x)$，因此 $\phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\phi(x+\Delta x) - \phi(x)}{\Delta x} = f(x)$。故 $\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $\phi'(x)=f(x)$。
公式：$\phi'(x) = f(x)$
提示：极限过程需要利用 $f$ 的连续性，注意 $\xi$ 依赖于 $\Delta x$。
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