北京工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 都连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=6$ ，若无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) d x$ 绝对收敛，则无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件并理解题意
已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 6$。无穷积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 绝对收敛，即 $\int_0^{+\infty} |f(x)| \, dx < +\infty$。需要证明 $\int_0^{+\infty} f(x) g(x) \, dx$ 绝对收敛。
公式：$\int_0^{+\infty} |f(x)| \, dx < +\infty$
提示：注意题目中 '$\int_{0}^{+x} f(x) dx$' 是笔误，应理解为 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$。
步骤 2/5
目标：利用极限条件证明 $g(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上有界
由 $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 6$，根据极限定义，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $M > 0$，当 $x \ge M$ 时，有 $|g(x) - 6| < 1$，从而 $|g(x)| \le |g(x)-6| + 6 < 1 + 6 = 7$。在有限闭区间 $[0, M]$ 上，$g(x)$ 连续，故有界，设 $|g(x)| \le C$ 对 $x \in [0, M]$ 成立。因此，对所有 $x \in [0, +\infty)$，有 $|g(x)| \le \max\{C, 7\}$，记这个上界为 $K$。
公式：$|g(x)| \le K, \quad \forall x \in [0, +\infty)$
提示：连续函数在闭区间上必有界，这是有限区间有界性的依据。
步骤 3/5
目标：利用有界性建立被积函数的比较关系
由于 $|g(x)| \le K$ 对所有 $x \ge 0$ 成立，因此对任意 $x \ge 0$，有 $|f(x)g(x)| = |f(x)| \cdot |g(x)| \le K |f(x)|$。
公式：$|f(x)g(x)| \le K |f(x)|$
提示：这里用到了绝对值的乘法性质，注意 $K$ 是常数。
步骤 4/5
目标：应用比较判别法证明绝对收敛
已知 $\int_0^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 收敛，且 $0 \le |f(x)g(x)| \le K |f(x)|$，由比较判别法（非负函数积分收敛的比较原理），可知 $\int_0^{+\infty} |f(x)g(x)| \, dx$ 也收敛，即 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 绝对收敛。
公式：$\int_0^{+\infty} |f(x)g(x)| \, dx \le K \int_0^{+\infty} |f(x)| \, dx < +\infty$
提示：比较判别法要求被比较函数非负，这里 $|f(x)g(x)|$ 和 $|f(x)|$ 均非负，条件满足。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，由 $g(x)$ 极限存在推出其有界性，再结合 $f(x)$ 的绝对可积性及比较判别法，严格证明了 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 绝对收敛。
公式：结论成立
提示：本题核心思路：极限存在 ⇒ 有界 ⇒ 比较判别法。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，无穷积分 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 绝对收敛。
公式：\int_0^{+\infty} f(x)g(x) \, dx \ \text{绝对收敛}
提示：结论直接由比较判别法得出，无需额外条件。
步骤 7/7
目标：得出绝对收敛结论
由 $\int_0^{+\infty} |f(x)g(x)| \, dx$ 收敛，根据定义，无穷积分 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) \, dx$ 绝对收敛。
提示：绝对收敛的定义：若 $\int |f|$ 收敛，则称 $\int f$ 绝对收敛。
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