北京工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
1．证明函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明思路
对于每个固定的 $n$，函数 $u_n(x) = \frac{1}{n^x}$ 在 $(1, +\infty)$ 上连续（指数函数形式）。要证明和函数 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ 在 $(1, +\infty)$ 上连续，常用方法是证明该函数项级数在 $(1, +\infty)$ 上内闭一致收敛，然后利用一致收敛级数的连续性定理。
公式：u_n(x) = \frac{1}{n^x}
提示：注意：内闭一致收敛是指对任意闭区间 $[a,b] \subset (1,+\infty)$，级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
步骤 2/6
目标：取任意闭区间并建立控制级数
任取 $a > 1$，考虑闭区间 $[a, b] \subset (1, +\infty)$，其中 $b$ 任意大于 $a$。对于任意 $x \in [a, b]$，有 $x \ge a$，因此 $\frac{1}{n^x} \le \frac{1}{n^a}$。
公式：\frac{1}{n^x} \le \frac{1}{n^a}, \quad \forall x \in [a, b]
提示：这里利用了指数函数的单调性：$n^x$ 关于 $x$ 单调递增，所以 $n^x \ge n^a$，倒数不等式方向反转。
步骤 3/6
目标：应用Weierstrass M-判别法证明一致收敛
级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}$ 当 $a > 1$ 时是收敛的 $p$-级数（$p = a > 1$）。因此，取 $M_n = \frac{1}{n^a}$，则对一切 $x \in [a, b]$ 有 $|u_n(x)| \le M_n$，且 $\sum_{n=1}^\infty M_n$ 收敛。由Weierstrass M-判别法，函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a} \text{ 收敛 } (a>1); \quad M_n = \frac{1}{n^a}
提示：注意：$a$ 必须严格大于1，否则 $p$-级数发散，无法使用M-判别法。
步骤 4/6
目标：由一致收敛性推出和函数在闭区间上连续
每个 $u_n(x) = \frac{1}{n^x}$ 在 $[a, b]$ 上连续，且级数在 $[a, b]$ 上一致收敛，因此和函数 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ 在 $[a, b]$ 上连续。
公式：f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x} \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续}
提示：一致收敛级数的连续性定理：若每一项连续且级数一致收敛，则和函数连续。
步骤 5/6
目标：推广到整个区间 (1, +∞)
由于 $[a, b]$ 是 $(1, +\infty)$ 内的任意闭区间，而 $(1, +\infty)$ 中的每一点 $x_0$ 都可以被包含在某个这样的闭区间内（例如取 $a = \frac{1+x_0}{2}$，$b = x_0+1$），因此 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上每一点都连续，即在 $(1, +\infty)$ 上连续。
公式：\forall x_0 \in (1, +\infty), \exists [a,b] \subset (1, +\infty) \text{ 使得 } x_0 \in [a,b] \text{ 且 } f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续}
提示：连续性是一个局部性质，内闭一致收敛足以保证在整个开区间上的连续性。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上连续。
公式：f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x} \text{ 在 } (1, +\infty) \text{ 上连续}
提示：这个结论是黎曼ζ函数在 $x>1$ 时连续性的标准证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。