北京工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。
$\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。
三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ，
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明极限定义：将差值表达式化简
对任意 ε > 0，需要找到 δ > 0，使得当 0 < |x - c| < δ 时，有 |1/x - 1/c| < ε。先计算差值：|1/x - 1/c| = |c - x| / (|x||c|)。
公式：\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{c} \right| = \frac{|c - x|}{|x||c|}
提示：注意 c ≠ 0，分母中的 |x| 不能太小，需要先限制 x 的范围。
步骤 2/7
目标：限制 x 的范围以控制分母
取 |x - c| < |c|/2，则 |x| > |c|/2，从而 |1/x - 1/c| < 2|x - c| / c²。
公式：|x| > \frac{|c|}{2} \Rightarrow \frac{|c - x|}{|x||c|} < \frac{2|x - c|}{c^2}
提示：这里 c² 是正数，注意 c 可能为负，但平方后不影响。
步骤 3/7
目标：确定 δ 的取值
要求 2|x - c| / c² < ε，即 |x - c| < c²ε/2。取 δ = min{|c|/2, c²ε/2}，则当 0 < |x - c| < δ 时，不等式成立。
公式：\delta = \min\left\{ \frac{|c|}{2}, \frac{c^2 \varepsilon}{2} \right\}
提示：δ 必须同时满足两个条件，取最小值确保推导有效。
步骤 4/7
目标：计算数列极限：将和式转化为黎曼和
记 S_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) = Σ_{k=1}^{n} 1/(n+k)。提取 1/n：S_n = (1/n) Σ_{k=1}^{n} 1/(1 + k/n)。
公式：S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}
提示：这是定积分定义的标准形式，注意区间 [0,1] 上的等分点取右端点。
步骤 5/7
目标：利用定积分求极限
当 n → ∞ 时，黎曼和趋于积分 ∫₀¹ 1/(1+x) dx = ln(1+x)|₀¹ = ln2。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2
提示：积分计算时注意 ln(1+1) = ln2，ln1 = 0。
步骤 6/7
目标：证明函数有界：利用极限定义得到局部有界
由 lim_{x→a⁺} f(x)=A，取 ε=1，存在 δ>0，当 a < x < a+δ 时，|f(x)| < |A|+1。由 lim_{x→+∞} f(x)=B，取 ε=1，存在 M>0，当 x > M 时，|f(x)| < |B|+1。
公式：|f(x)| < |A|+1 \quad (a < x < a+\delta), \quad |f(x)| < |B|+1 \quad (x > M)
提示：ε 取 1 是常用技巧，因为只需证明有界，不需要精确控制。
步骤 7/7
目标：利用闭区间上连续函数的有界性
在闭区间 [a+δ, M] 上，f(x) 连续，故存在最大值 K。取整体上界为 max{|A|+1, |B|+1, K}，则 f(x) 在 (a, +∞) 上有界。
公式：\text{上界} = \max\{ |A|+1, |B|+1, K \}
提示：注意 a+δ 和 M 的大小关系：若 a+δ > M，则区间退化为空，但极限定义保证 δ 和 M 可调整使区间非空。
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