📝 北京工业大学 2016年数学分析真题

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。
$\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。
三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ，
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

九．（15 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} d x=f(0) \ln \frac{b}{a}, 0<a<b$ 。

五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ ．上的最大值与最小值。

八．（15 分）设 $n$ 个正数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 之和为 $a$ ，求函数 $\displaystyle \left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ 的最大值。

六．（15分）证明函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。
L．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和陑数。

十．（15 分）计算曲面积分

$$
\oiint_{S}\left(x^{3}-y z\right) d y d z-2 x^{2} y d z d x+z d x d y
$$

其中 $S$ 是平面 $\displaystyle x=a, y=a, z=a(a>0)$ 及三个坐标平面围成的立方体 $V$ 的表而而。

四．（15 分）证明方程 $\displaystyle \frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 与 $\displaystyle (2,3)$ 内各有一个实根。