北京工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ ．上的最大值与最小值。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数与区间
函数为 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 6x - 1$，区间为 $[-2, 2]$。由于函数在闭区间上连续，最大值和最小值一定存在，可能出现在区间端点或导数等于零的驻点处。
公式：f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 6x - 1
提示：注意闭区间上连续函数的最值定理，确保不遗漏端点。
步骤 2/6
目标：求导数并找出驻点
对函数求导：$f'(x) = -6x^2 + 6x + 6 = -6(x^2 - x - 1)$。令导数为零，解方程 $x^2 - x - 1 = 0$，得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。其中 $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$，均在区间 $[-2, 2]$ 内。
公式：f'(x) = -6(x^2 - x - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
提示：解二次方程时注意判别式 $b^2 - 4ac = 1 + 4 = 5$，不要算错符号。
步骤 3/6
目标：计算区间端点的函数值
计算 $x = -2$ 和 $x = 2$ 处的函数值：
$f(-2) = -2(-8) + 3(4) + 6(-2) - 1 = 16 + 12 - 12 - 1 = 15$。
$f(2) = -2(8) + 3(4) + 12 - 1 = -16 + 12 + 12 - 1 = 7$。
公式：f(-2) = 15, \quad f(2) = 7
提示：代入时注意负号，尤其是 $(-2)^3 = -8$ 和 $(-2)^2 = 4$。
步骤 4/6
目标：计算驻点 $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 的函数值
令 $t = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$，则 $t^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，$t^3 = 2 - \sqrt{5}$。代入函数：
$f(t) = -2(2 - \sqrt{5}) + 3 \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + 6 \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1$。
计算常数部分：$-4 + \frac{9}{2} + 3 - 1 = \frac{5}{2}$。
根号部分：$2\sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{2} - 3\sqrt{5} = -\frac{5\sqrt{5}}{2}$。
因此 $f\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5}{2} - \frac{5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2} \approx -3.09$。
公式：f\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2}
提示：计算 $t^3$ 时注意多项式乘法，避免符号错误；合并同类项时小心分数运算。
步骤 5/6
目标：计算驻点 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 的函数值
令 $s = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，则 $s^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$s^3 = 2 + \sqrt{5}$。代入函数：
$f(s) = -2(2 + \sqrt{5}) + 3 \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + 6 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1$。
计算常数部分：$-4 + \frac{9}{2} + 3 - 1 = \frac{5}{2}$。
根号部分：$-2\sqrt{5} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + 3\sqrt{5} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$。
因此 $f\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 + \sqrt{5})}{2} \approx 8.09$。
公式：f\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5(1 + \sqrt{5})}{2}
提示：与上一步对称，注意根号部分符号变化，避免混淆。
步骤 6/6
目标：比较所有候选值，确定最值
比较四个值：
$f(-2) = 15$，
$f(2) = 7$，
$f\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2} \approx -3.09$，
$f\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5(1 + \sqrt{5})}{2} \approx 8.09$。
最大值为 $15$，在 $x = -2$ 处取得；最小值为 $\frac{5(1 - \sqrt{5})}{2}$，在 $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 处取得。
公式：\max f(x) = 15, \quad \min f(x) = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2}
提示：比较时注意精确值的大小，不要仅依赖近似值；确保驻点都在区间内。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。