北京工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $n$ 个正数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 之和为 $a$ ，求函数 $\displaystyle \left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ 的最大值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与等价转化
已知$n$个正数$x_1,x_2,\cdots,x_n$满足$x_1+x_2+\cdots+x_n=a$（$a>0$），要求函数$\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}$的最大值。由于$n$次方根是单调递增函数，最大化几何平均等价于最大化乘积$x_1x_2\cdots x_n$。
公式：$\max\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}} \iff \max\left(x_1x_2\cdots x_n\right)$
提示：注意正数条件$x_i>0$，否则几何平均可能无定义或出现零值。
步骤 2/5
目标：应用算术-几何平均不等式（AM-GM）
对于$n$个正数，算术平均不小于几何平均，即：
$$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$
等号成立当且仅当$x_1=x_2=\cdots=x_n$。
公式：$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
提示：AM-GM不等式是本题的核心工具，注意等号成立条件必须为所有变量相等。
步骤 3/5
目标：代入已知和的条件
将已知条件$x_1+x_2+\cdots+x_n=a$代入不等式左边，得到：
$$\frac{a}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$
即
$$\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}} \le \frac{a}{n}$$
公式：$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \le \frac{a}{n}$
提示：这里直接利用和的条件，无需额外计算。
步骤 4/5
目标：确定最大值与取等条件
由不等式可知，几何平均$\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}$的上界为$\frac{a}{n}$。当且仅当所有$x_i$相等时取等，即$x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{a}{n}$。此时几何平均恰好等于$\frac{a}{n}$，因此最大值可达。
公式：$\max\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}} = \frac{a}{n}$，当且仅当$x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{a}{n}$
提示：验证取等条件是否满足正数要求：$\frac{a}{n}>0$，因为$a>0$且$n$为正整数。
步骤 5/5
目标：总结答案
综上所述，函数$\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}$的最大值为$\frac{a}{n}$，在$x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{a}{n}$时取得。
公式：无新公式
提示：本题是均值不等式直接应用的经典例子，注意区分算术平均与几何平均的关系。
步骤 6/6
目标：总结最大值
综上所述，函数 $(x_1 x_2 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}}$ 的最大值为 $\frac{a}{n}$，当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = \frac{a}{n}$ 时取得。
提示：最终答案要明确写出最大值及取等条件。
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