北京工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）计算曲面积分
$$
\oiint_{S}\left(x^{3}-y z\right) d y d z-2 x^{2} y d z d x+z d x d y
$$
其中 $S$ 是平面 $\displaystyle x=a, y=a, z=a(a>0)$ 及三个坐标平面围成的立方体 $V$ 的表而而。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与方向，识别向量场分量
曲面 $S$ 是由平面 $x=a$, $y=a$, $z=a$ 及三个坐标平面 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 围成的立方体表面，取外侧方向。积分表达式为：
$$
\oiint_S (x^3 - yz) \, dy\, dz - 2x^2 y \, dz\, dx + z \, dx\, dy
$$
对照高斯公式的标准形式 $\oiint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，可得向量场分量：
$$
P = x^3 - yz, \quad Q = -2x^2 y, \quad R = z
$$
公式：第二类曲面积分与高斯公式的标准形式对应关系
提示：注意第二项前有负号，直接将其系数作为 $Q$，不要遗漏符号。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式，计算散度
高斯公式：
$$
\oiint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
$$
分别求偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2x^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1
$$
散度为：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3x^2 - 2x^2 + 1 = x^2 + 1
$$
公式：高斯公式：$\oiint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$
提示：计算偏导时注意 $P$ 中的 $yz$ 对 $x$ 求导为0，$Q$ 中的 $x^2y$ 对 $y$ 求导时 $x^2$ 视为常数。
步骤 3/5
目标：将曲面积分转化为三重积分
由高斯公式，原积分化为：
$$
\iiint_V (x^2 + 1) \, dV
$$
其中 $V$ 是立方体：$0 \le x \le a$, $0 \le y \le a$, $0 \le z \le a$。
公式：$\iiint_V (x^2+1)\,dV$
提示：注意积分区域是立方体，被积函数仅依赖于 $x$，可分离变量积分。
步骤 4/5
目标：计算三重积分
由于被积函数与 $y,z$ 无关，三重积分可分解为：
$$
\iiint_V (x^2+1)\,dV = \int_0^a \int_0^a \int_0^a (x^2+1)\,dx\,dy\,dz
$$
先对 $x$ 积分：
$$
\int_0^a (x^2+1)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^a = \frac{a^3}{3} + a
$$
再对 $y$ 和 $z$ 积分，每个区间长度为 $a$：
$$
\int_0^a dy = a, \quad \int_0^a dz = a
$$
因此结果为：
$$
\left( \frac{a^3}{3} + a \right) \cdot a \cdot a = a^2 \left( \frac{a^3}{3} + a \right) = \frac{a^5}{3} + a^3
$$
公式：$\int_0^a (x^2+1)\,dx = \frac{a^3}{3}+a$，$\int_0^a dy = a$，$\int_0^a dz = a$
提示：注意积分次序可交换，先对 $x$ 积分后，$y,z$ 的积分直接乘以区间长度。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此原曲面积分的结果为：
$$
\boxed{\frac{a^5}{3} + a^3}
$$
公式：最终结果
提示：检查结果量纲：$a^5$ 和 $a^3$ 均为长度五次方，与曲面积分中 $x^3$ 等项量纲一致。
步骤 6/7
目标：计算三重积分（最后对x积分）
对x积分：
\[
\int_{0}^{a} a^2 (x^2+1)\,dx = a^2 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{a} = a^2 \left( \frac{a^3}{3} + a \right) = \frac{a^5 + 3a^3}{3}
\]
公式：\int_{0}^{a} a^2 (x^2+1)\,dx = \frac{a^5 + 3a^3}{3}
提示：计算定积分时注意代入上下限，a>0。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此原曲面积分的结果为：
\[
\boxed{\frac{a^5 + 3a^3}{3}}
\]
公式：最终答案：\frac{a^5 + 3a^3}{3}
提示：检查结果是否合理，例如当a=1时，结果为4/3。
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