北京工业大学 2016年数学分析第0题

令 $f(x)=\frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}$。该函数在 $x=1,2,3$ 处无定义，但在区间 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 内分母均不为零，因此 $f(x)$ 在这两个区间内连续。

当 $x\to 1^+$ 时：$x-1\to 0^+$，$\frac{5}{x-1}\to +\infty$；$x-2\to -1$，$\frac{7}{x-2}\to -7$；$x-3\to -2$，$\frac{16}{x-3}\to -8$。因此 $f(x)\to +\infty$。 当 $x\to 2^-$ 时：$x-1\to 1$，$\frac{5}{x-1}\to 5$；$x-2\to 0^-$，$\frac{7}{x-2}\to -\infty$；$x-3\to -1$，$\frac{16}{x-3}\to -16$。因此 $f(x)\to -\infty$。

由于 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 上连续，且 $\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$，由介值定理（连续函数从正无穷到负无穷必然经过0），至少存在一个 $x_1\in(1,2)$ 使得 $f(x_1)=0$。

当 $x\to 2^+$ 时：$x-1\to 1$，$\frac{5}{x-1}\to 5$；$x-2\to 0^+$，$\frac{7}{x-2}\to +\infty$；$x-3\to -1$，$\frac{16}{x-3}\to -16$。因此 $f(x)\to +\infty$。 当 $x\to 3^-$ 时：$x-1\to 2$，$\frac{5}{x-1}\to 2.5$；$x-2\to 1$，$\frac{7}{x-2}\to 7$；$x-3\to 0^-$，$\frac{16}{x-3}\to -\infty$。因此 $f(x)\to -\infty$。

由于 $f(x)$ 在 $(2,3)$ 上连续，且 $\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty$，由介值定理，至少存在一个 $x_2\in(2,3)$ 使得 $f(x_2)=0$。

求导得 $f'(x)=-\frac{5}{(x-1)^2}-\frac{7}{(x-2)^2}-\frac{16}{(x-3)^2}$。在 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 内，每一项均为负，故 $f'(x)<0$，即 $f(x)$ 在每个区间内严格单调递减。因此每个区间至多有一个根，结合存在性，恰好各有一个实根。