北京工业大学 2016年数学分析第0题

为证明不一致收敛，需验证 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|$ 不趋于 $0$。令 $g_n(x)=n x (1-x)^n$，求导得 $g_n'(x)=n(1-x)^{n-1}[(1-x)-n x]$。令导数为零，得驻点 $x=\frac{1}{n+1}$。

将 $x=\frac{1}{n+1}$ 代入 $g_n(x)$，得最大值： $$g_n\left(\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$ 当 $n\to\infty$ 时，$\frac{n}{n+1}\to 1$，$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{(1+1/n)^n} \to \frac{1}{e}$，故最大值趋于 $\frac{1}{e}\neq 0$。

由于 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|$ 不趋于 $0$（趋于 $1/e$），根据一致收敛的定义，函数列 $\{n x(1-x)^n\}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。

考虑 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$，用比值审敛法： $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} x^2 \cdot \frac{2n-1}{2n+1} = x^2$$ 当 $|x|<1$ 时绝对收敛；$x=\pm1$ 时级数发散（$p$ 级数形式）。故收敛域为 $(-1,1)$。

由 $\frac{1}{1-t^2} = \sum_{n=1}^{\infty} t^{2n-2}$，在 $(-1,1)$ 内逐项积分： $$\int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x t^{2n-2} dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$$ 左边积分计算得 $\frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}$。

因此，和函数为： $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, \quad |x|<1$$

当 $x=\pm 1$ 时，原级数成为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\pm 1)^{2n-1}}{2n-1}$，这是交错调和级数，收敛。由阿贝尔定理，和函数在端点处连续，因此公式 $S(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ 在 $x=\pm 1$ 处也成立（取极限）。最终和函数为 $S(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}, \quad x\in[-1,1]$。