北京工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} d x=f(0) \ln \frac{b}{a}, 0<a<b$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分，将原积分转化为参数函数形式
我们引入参数 $t>0$，定义函数 $I(t)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-t x}}{x} dx$，其中 $a$ 固定。当 $t=b$ 时，$I(b)$ 即为所求积分。
公式：I(t)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-t x}}{x} dx
提示：注意 $t$ 是变量，$a$ 是常数，这样构造便于求导。
步骤 2/5
目标：对参数 $t$ 求导，利用积分号下求导法
对 $I(t)$ 关于 $t$ 求导，在指数衰减保证一致收敛的条件下，交换求导与积分次序：$I'(t)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{e^{-a x}-e^{-t x}}{x}\right) dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{0 - (-x e^{-t x})}{x} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} dx$。
公式：I'(t)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t x} dx
提示：求导时注意 $e^{-a x}$ 与 $t$ 无关，导数为0；$e^{-t x}$ 对 $t$ 求导得 $-x e^{-t x}$，负号相消。
步骤 3/5
目标：计算简单积分得到 $I'(t)$ 的表达式
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-t x} dx = \left[-\frac{1}{t} e^{-t x}\right]_{0}^{+\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{t}\right) = \frac{1}{t}$。因此 $I'(t)=\frac{1}{t}$。
公式：\int_{0}^{+\infty} e^{-t x} dx = \frac{1}{t}
提示：注意 $t>0$ 保证积分收敛，上限代入 $e^{-\infty}=0$。
步骤 4/5
目标：对导数积分，恢复 $I(t)$ 并利用边界条件
对 $I'(t)=\frac{1}{t}$ 从 $a$ 到 $b$ 积分：$I(b)-I(a)=\int_{a}^{b} \frac{1}{t} dt = \ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}$。而 $I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-a x}}{x} dx = 0$，故 $I(b)=\ln\frac{b}{a}$。
公式：I(b)-I(a)=\ln\frac{b}{a},\quad I(a)=0
提示：$I(a)$ 的被积函数恒为0，积分结果为0，这是关键边界条件。
步骤 5/5
目标：联系Frullani积分公式，解释题目中 $f(0)$ 的由来
Frullani积分公式：$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(0)-f(\infty))\ln\frac{b}{a}$。令 $f(x)=e^{-x}$，则 $f(0)=1$，$f(\infty)=0$，代入得 $\ln\frac{b}{a}$。题目中 $f(0)$ 可能是该公式的遗留，实际结果不含 $f(0)$。
公式：\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(0)-f(\infty))\ln\frac{b}{a}
提示：验证 $f(0)=1$ 时，结果即为 $\ln(b/a)$，与推导一致。
步骤 6/7
目标：得到辅助函数的显式表达式
将 $C = \ln b$ 代入 $F(t) = -\ln t + C$，得 $F(t) = \ln b - \ln t = \ln \frac{b}{t}$。
公式：$F(t) = \ln \frac{b}{t}$
提示：此式对所有 $t>0$ 成立。
步骤 7/7
目标：代入原参数并解释结果形式
取 $t = a$，得 $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} - e^{-b x}}{x} dx = \ln \frac{b}{a}$。题目中右边写为 $f(0) \ln \frac{b}{a}$，这里 $f(x)=e^{-x}$，故 $f(0)=1$，因此结果一致。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} - e^{-b x}}{x} dx = \ln \frac{b}{a} = f(0) \ln \frac{b}{a}$
提示：此积分是 Frullani 积分的特例，一般形式为 $\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(0)-f(\infty))\ln\frac{b}{a}$。
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