北京工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限定义，确定ε-N关系
由已知条件 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$，根据极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N_1$，使得当 $n > N_1$ 时，有 $|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N_1 \in \mathbb{N}, \forall n > N_1: |a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意这里取 $\frac{\varepsilon}{2}$ 是为了后续合并时得到 $\varepsilon$，这是常用技巧。
步骤 2/5
目标：将平均值与极限的差拆分为两部分
考虑前 $n$ 项的平均值与 $a$ 的差：
$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - a = \frac{(a_1 - a) + (a_2 - a) + \cdots + (a_n - a)}{n}$$
将和式分为两部分：前 $N_1$ 项（固定项）与第 $N_1+1$ 项到第 $n$ 项（后续项）。
公式：$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} - a = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}(a_k - a) + \frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^{n}(a_k - a)$
提示：拆分的关键在于利用 $N_1$ 将数列分为已控制的部分和未控制的部分。
步骤 3/5
目标：估计后续项部分的和
记 $S = \sum_{k=1}^{N_1} (a_k - a)$，则当 $n > N_1$ 时，有
$$\left|\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} - a\right| \leq \frac{|S|}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^{n} |a_k - a|$$
对于 $k > N_1$，由第一步知 $|a_k - a| < \frac{\varepsilon}{2}$，因此
$$\frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^{n} |a_k - a| < \frac{1}{n} \cdot (n - N_1) \cdot \frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}$$
公式：$\frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^{n} |a_k - a| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意 $n - N_1 < n$，因此不等式严格成立，无需担心 $N_1$ 的影响。
步骤 4/5
目标：处理固定部分 $\frac{|S|}{n}$
由于 $S$ 是常数（与 $n$ 无关），我们可以取足够大的 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，$\frac{|S|}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$。具体地，取 $N_2 > \frac{2|S|}{\varepsilon}$ 即可。
公式：$\exists N_2 \in \mathbb{N}, \forall n > N_2: \frac{|S|}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：这里 $N_2$ 依赖于 $S$ 和 $\varepsilon$，而 $S$ 依赖于 $N_1$，因此最终 $N$ 依赖于 $\varepsilon$，符合定义。
步骤 5/5
目标：合并两部分，完成证明
取 $N = \max(N_1, N_2)$，则当 $n > N$ 时，同时满足 $n > N_1$ 和 $n > N_2$，因此
$$\left|\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - a\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
由极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义，即得
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = a$$
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N = \max(N_1, N_2), \forall n > N: \left|\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} - a\right| < \varepsilon$
提示：注意 $N$ 取最大值是为了同时保证两个条件成立，这是 $\varepsilon$-$N$ 证明中的常见手法。
步骤 6/7
目标：合并两部分并取N
取 $N = \max(N_1, N_2)$，则当 $n > N$ 时，有 $\displaystyle \left| \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - a \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。
公式：$\displaystyle \left| \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - a \right| < \varepsilon$
提示：确保 $n$ 同时大于 $N_1$ 和 $N_2$，两个条件同时成立。
步骤 7/7
目标：由极限定义得出结论
由极限的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，不等式成立，故 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = a$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = a$
提示：这是柯西第一极限定理，证明中关键是分段处理。
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