📝 北京工业大学 2017年数学分析真题

一．（15 分）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$ 。

七．（15 分）荐函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内问微且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ 。

三．（15 分）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow i} f(x)=b$ ，证明对佢意数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, a_{n} \neq a$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=b$ 。

二．（15分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{x^{n-1}}{n(n+1)}$ 的收敛域及和姠数。

五．（15 分）证时：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ ！：一致连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[g(x)-f(x)]=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

六．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { 若 }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { 若 }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，
（1）求出 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 及 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$ ；
（2）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点连续；
（3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点不可微。

十．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 在区间
$\displaystyle [0,1]$ 上连续在 0 点右导数存在，且 $\displaystyle f(0)=0, f_{+}^{\prime}(0)=1$ 。

四．（15 分）设 $V$ 是由椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的切平间 上 三二个坐标百所围成的四泊体的体积，求 $V$ 的最小值。