北京工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）荐函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内问微且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知：函数 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上可导，且 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。要证明：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0
提示：注意题目中 $x \rightarrow +x$ 是 $x \rightarrow +\infty$ 的笔误。
步骤 2/5
目标：利用极限定义转化条件
由 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，$|f'(x)| < \varepsilon$。目标：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X$，当 $x > X$ 时，$\left|\frac{f(x)}{x}\right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists M > a, \forall x > M: |f'(x)| < \varepsilon
提示：注意区分两个 $\varepsilon$：一个用于导数条件，一个用于最终极限。
步骤 3/5
目标：用拉格朗日中值定理联系 f(x) 和 f'(x)
取一个固定的足够大的数 $c > M$。对于任意 $x > c$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (c, x)$ 使得 $f(x) - f(c) = f'(\xi)(x - c)$。于是 $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(c)}{x} + \frac{f'(\xi)(x - c)}{x}$。
公式：f(x) - f(c) = f'(\xi)(x - c), \quad \xi \in (c, x)
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里 $f$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，故在 $[c,x]$ 上满足条件。
步骤 4/5
目标：分别估计两项
第一项：当 $x \to +\infty$，$\frac{f(c)}{x} \to 0$，故对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X_1$，当 $x > X_1$ 时 $\left|\frac{f(c)}{x}\right| < \frac{\varepsilon}{2}$。
第二项：取 $\varepsilon_0 = \frac{\varepsilon}{2}$，由导数条件存在 $M$，当 $x > M$ 时 $|f'(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。取 $c > M$，则当 $x > c$ 时 $\xi > c > M$，故 $|f'(\xi)| < \frac{\varepsilon}{2}$，于是 $\left|\frac{f'(\xi)(x-c)}{x}\right| < \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{x-c}{x} < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\left|\frac{f(c)}{x}\right| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \left|\frac{f'(\xi)(x-c)}{x}\right| < \frac{\varepsilon}{2}
提示：注意 $\frac{x-c}{x} < 1$ 用于放缩。
步骤 5/5
目标：合并得到结论
取 $X = \max\{X_1, c\}$，则当 $x > X$ 时，$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \le \left|\frac{f(c)}{x}\right| + \left|\frac{f'(\xi)(x-c)}{x}\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由极限定义，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0
提示：最终结果与 $f(c)$ 的具体值无关，因为 $c$ 固定。
步骤 6/6
目标：由极限定义得出结论
由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，$\left|\frac{f(x)}{x}\right| < \varepsilon$，故 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0
提示：证明完成，注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，由极限定义，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ 得证。
提示：该结论说明当导数趋于0时，函数增长慢于线性。
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