北京工业大学 2017年数学分析第0题

首先，将级数写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n(n+1)}$。使用比值判别法求收敛半径： $$ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{x^{n-1}}\right| = |x| \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} = |x| $$ 当 $|x|<1$ 时绝对收敛，$|x|>1$ 时发散，故收敛半径为 $1$。 检查端点： - 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$，由于 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，部分和可裂项相消，和为 $1$，收敛。 - 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$，取绝对值后为正项收敛级数，故绝对收敛。 因此收敛域为 $[-1,1]$。

利用部分分式分解： $$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$ 则和函数可写为： $$ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n+1} $$

当 $x \neq 0$ 时： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\frac{\ln(1-x)}{x} $$ 当 $x=0$ 时，原级数第一项为 $\frac{1}{1\cdot 2} = \frac{1}{2}$，其余为 $0$，故 $S(0)=\frac{1}{2}$。

当 $x \neq 0$ 时： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n+1} = \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} $$ 令 $m=n+1$，则 $m$ 从 $2$ 到 $\infty$： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{x^m}{m} = \left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m}\right) - x = -\ln(1-x) - x $$ 因此第二个和为： $$ \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2} $$

当 $x \neq 0$ 时： $$ S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x} - \frac{-\ln(1-x)-x}{x^2} $$ 通分： $$ S(x) = \frac{-x\ln(1-x) + \ln(1-x) + x}{x^2} = \frac{(1-x)\ln(1-x) + x}{x^2} $$ 当 $x=0$ 时，$S(0)=\frac{1}{2}$。

验证 $x=0$：用极限 $\lim_{x\to 0} \frac{(1-x)\ln(1-x)+x}{x^2}$，展开 $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$，分子为 $\frac{x^2}{2} + \cdots$，极限为 $\frac{1}{2}$，与直接代入一致。 验证 $x=1$：原级数和为 $1$，函数式取极限 $\lim_{x\to 1^-} \frac{(1-x)\ln(1-x)+x}{x^2}$，令 $t=1-x \to 0^+$，得 $\frac{t\ln t + (1-t)}{(1-t)^2} \to 1$，一致。 验证 $x=-1$：代入得 $S(-1) = \frac{2\ln 2 - 1}{1} = 2\ln 2 - 1$，与直接计算级数结果一致。

当$x=0$时，原级数只有$n=1$项非零：$S(0)=\frac{1}{1\cdot2}=\frac12$。验证连续性：将$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$代入表达式，得$\lim_{x\to0}S(x)=\frac12$，故连续。 当$x=1$时，由裂项求和得$S(1)=1$。当$x=-1$时，级数收敛，但表达式中的$\ln(1-x)$在$x=-1$时取$\ln2$，故$S(-1) = -1 + \frac{2\ln2}{1} = -1+2\ln2$（注意$x=-1$时表达式仍有效，因为$\ln(1-(-1))=\ln2$）。

收敛域为$[-1,1]$。和函数为： \[ S(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1-x}{x^2}\ln(1-x), & x\in[-1,1]\setminus\{0\}, \\ \frac12, & x=0. \end{cases} \] 在端点$x=1$处，表达式极限为1；在$x=-1$处，表达式给出$2\ln2-1$。