北京工业大学 2017年数学分析第0题

设椭球面上一点为 $P(x_0, y_0, z_0)$，满足 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$。将椭球面方程写为隐函数 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$，梯度为 $\nabla F = \left( \frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2} \right)$。在 $P$ 点的切平面方程为 $\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0$，化简得 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2} = \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$。所以切平面方程是 $\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y+\frac{z_0}{c^2}z=1$。

与x轴交点：令 $y=0,z=0$，得 $\frac{x_0}{a^2}x=1 \Rightarrow x=\frac{a^2}{x_0}$。与y轴交点：$y=\frac{b^2}{y_0}$。与z轴交点：$z=\frac{c^2}{z_0}$。这三个交点和原点构成一个四面体，体积为 $V = \frac{1}{6} \cdot \left| \frac{a^2}{x_0} \cdot \frac{b^2}{y_0} \cdot \frac{c^2}{z_0} \right|$。由于可假设点在第一卦限（$x_0>0,y_0>0,z_0>0$），体积公式简化为 $V = \frac{a^2 b^2 c^2}{6\,x_0 y_0 z_0}$。

约束条件：$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$，且 $x_0,y_0,z_0>0$。要最小化 $V = \frac{a^2 b^2 c^2}{6}\cdot\frac{1}{x_0 y_0 z_0}$。由于 $a,b,c$ 为常数，最小化 $V$ 等价于最大化 $x_0 y_0 z_0$。

设 $f = xyz$，$g = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$。由拉格朗日乘数法：$\nabla f = \lambda \nabla g$。计算偏导：$\frac{\partial f}{\partial x}=yz$，$\frac{\partial f}{\partial y}=xz$，$\frac{\partial f}{\partial z}=xy$；$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{2x}{a^2}$，$\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{2y}{b^2}$，$\frac{\partial g}{\partial z}=\frac{2z}{c^2}$。得方程组：$yz = \lambda \frac{2x}{a^2}$，$xz = \lambda \frac{2y}{b^2}$，$xy = \lambda \frac{2z}{c^2}$。将第一个乘以 $x$，第二个乘以 $y$，第三个乘以 $z$，得 $xyz = \lambda \frac{2x^2}{a^2}$，$xyz = \lambda \frac{2y^2}{b^2}$，$xyz = \lambda \frac{2z^2}{c^2}$。因此 $\frac{2x^2}{a^2} = \frac{2y^2}{b^2} = \frac{2z^2}{c^2}$，即 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$。代入约束条件：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=3\frac{x^2}{a^2}=1$，得 $\frac{x^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，所以 $x=\frac{a}{\sqrt{3}}$，同理 $y=\frac{b}{\sqrt{3}}$，$z=\frac{c}{\sqrt{3}}$。

在极值点处，$x_0 y_0 z_0 = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{c}{\sqrt{3}} = \frac{abc}{3\sqrt{3}}$。代入体积公式：$V_{\min} = \frac{a^2 b^2 c^2}{6} \cdot \frac{1}{\frac{abc}{3\sqrt{3}}} = \frac{a^2 b^2 c^2}{6} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{abc} = \frac{abc \cdot 3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} abc$。

由 $V = \frac{a^2 b^2 c^2}{6 |x_0 y_0 z_0|}$，分母越大 $V$ 越小，故 $|x_0 y_0 z_0|$ 取最大值时 $V$ 最小。代入 $|x_0 y_0 z_0|_{\max} = \frac{abc}{3\sqrt{3}}$，得 $V_{\min} = \frac{a^2 b^2 c^2}{6 \cdot \frac{abc}{3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} abc$。

均值不等式取等当且仅当 $\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{z_0^2}{c^2} = \frac{1}{3}$，即 $x_0 = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}, y_0 = \pm \frac{b}{\sqrt{3}}, z_0 = \pm \frac{c}{\sqrt{3}}$。此时体积取得最小值。