北京工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程结构并构造函数
设三次方程为 $f(x) = x^3 - 3a^2 x - 6a^2 + 3a$，研究其只有一个正实根的条件。
公式：$f(x) = x^3 - 3a^2 x - 6a^2 + 3a$
提示：注意参数 $a$ 可能为负，需分情况讨论。
步骤 2/7
目标：求导确定极值点
求导得 $f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x^2 - a^2)$，令 $f'(x)=0$ 得极值点 $x = \pm |a|$。
公式：$f'(x) = 3(x^2 - a^2)$
提示：极值点依赖于 $a$ 的绝对值，需区分 $a>0$ 和 $a<0$。
步骤 3/7
目标：讨论 $a=0$ 的情况
当 $a=0$ 时，方程为 $x^3=0$，唯一实根 $x=0$，不是正根，故排除。
公式：$x^3=0$
提示：正根要求 $x>0$，$0$ 不算正根。
步骤 4/7
目标：讨论 $a>0$ 的情况：极值点与函数值
当 $a>0$ 时，极值点为 $x=a$（极小值点）和 $x=-a$（极大值点）。计算极值：
$f(a) = -2a^3 - 6a^2 + 3a$，
$f(-a) = 2a^3 - 6a^2 + 3a$。
公式：$f(a) = -2a^3 - 6a^2 + 3a$，$f(-a) = 2a^3 - 6a^2 + 3a$
提示：三次项系数为正，函数图像先增后减再增。
步骤 5/7
目标：分析 $a>0$ 时只有一个正根的条件
要使只有一个正根，需极大值小于0（此时函数在正半轴单调递增穿过一次）。解 $f(-a) < 0$：
$2a^3 - 6a^2 + 3a < 0$，除以 $a>0$ 得 $2a^2 - 6a + 3 < 0$。解二次不等式得 $\frac{3-\sqrt{3}}{2} < a < \frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
另外，边界情况 $f(a)=0$ 即 $a = \frac{-3+\sqrt{15}}{2}$ 时，极小值为0，正半轴有二重根，也算只有一个正根。
公式：$2a^2 - 6a + 3 < 0$ 的解为 $\frac{3-\sqrt{3}}{2} < a < \frac{3+\sqrt{3}}{2}$；$f(a)=0$ 得 $a = \frac{-3+\sqrt{15}}{2}$
提示：注意 $\frac{-3+\sqrt{15}}{2} \approx 0.436$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2} \approx 0.634$，两区间不连续，中间段有三个实根（两个正根）。
步骤 6/7
目标：讨论 $a<0$ 的情况
当 $a<0$ 时，令 $b=-a>0$，则极值点为 $x=b$（极小值点）和 $x=-b$（极大值点）。极大值 $f(-b) = 2b^3 - 6b^2 - 3b$。要求极大值小于0：$b(2b^2 - 6b - 3) < 0$，因 $b>0$，解 $2b^2 - 6b - 3 < 0$ 得 $0 < b < \frac{3+\sqrt{15}}{2}$，即 $-\frac{3+\sqrt{15}}{2} < a < 0$。
公式：$2b^2 - 6b - 3 < 0$ 的解为 $0 < b < \frac{3+\sqrt{15}}{2}$
提示：此时只有一个正根，符合条件。
步骤 7/7
目标：综合所有情况得出最终范围
综合 $a>0$ 和 $a<0$ 的结果，并考虑边界：
- $a \in \left( \frac{3-\sqrt{3}}{2}, \frac{3+\sqrt{3}}{2} \right)$
- $a = \frac{-3+\sqrt{15}}{2}$
- $a \in \left( -\frac{3+\sqrt{15}}{2}, 0 \right)$
注意 $\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$ 不在 $\left( \frac{3-\sqrt{3}}{2}, \frac{3+\sqrt{3}}{2} \right)$ 内，故需分开表示。
公式：最终范围：$a \in \left( -\frac{3+\sqrt{15}}{2}, 0 \right) \cup \left\{ \frac{-3+\sqrt{15}}{2} \right\} \cup \left( \frac{3-\sqrt{3}}{2}, \frac{3+\sqrt{3}}{2} \right)$
提示：检查边界点是否包含：$a=0$ 排除，$a=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$ 包含（重根算一个正根）。
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