北京工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { 若 }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { 若 }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，
（1）求出 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 及 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$ ；
（2）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点连续；
（3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点不可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求非原点处的偏导数 f_x'(x,y) 和 f_y'(x,y)
当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，$f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}$。对 $x$ 求偏导，使用商法则：设 $u=x^3$, $v=x^2+y^2$，则 $u_x=3x^2$, $v_x=2x$，于是
$$f_x'(x,y) = \frac{3x^2(x^2+y^2) - x^3 \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3x^4+3x^2y^2-2x^4}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$
对 $y$ 求偏导：$u_y=0$, $v_y=2y$，于是
$$f_y'(x,y) = \frac{0 \cdot (x^2+y^2) - x^3 \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-2x^3y}{(x^2+y^2)^2}.$$
公式：$$f_x'(x,y)=\frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad f_y'(x,y)=\frac{-2x^3y}{(x^2+y^2)^2}$$
提示：注意商法则中分母的平方不要遗漏，化简时合并同类项要仔细。
步骤 2/7
目标：用定义求原点处的偏导数
利用偏导数的定义：
$$f_x'(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h^3/(h^2+0)-0}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$$
$$f_y'(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k}=0.$$
公式：$$f_x'(0,0)=1,\quad f_y'(0,0)=0$$
提示：分段函数在分段点处的偏导数必须用定义计算，不能直接代入非原点处的公式。
步骤 3/7
目标：写出完整的偏导数表达式
综合以上两步，得到完整的偏导数为：
$$f_x'(x,y) = \begin{cases} \frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 1, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
$$f_y'(x,y) = \begin{cases} \frac{-2x^3y}{(x^2+y^2)^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
公式：分段形式的偏导数
提示：注意分段函数在原点处的偏导数值是单独定义的，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：证明 f(x,y) 在原点连续
要证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。考虑绝对值：
$$|f(x,y)-0| = \frac{|x|^3}{x^2+y^2}.$$
由于 $x^2+y^2 \ge x^2$，所以
$$\frac{|x|^3}{x^2+y^2} \le \frac{|x|^3}{x^2} = |x|.$$
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$|x|\to 0$，由夹逼定理得极限为0，故函数在原点连续。
公式：$$0 \le |f(x,y)| \le |x|$$
提示：放缩时注意分母不能为零，但此处 $(x,y)\neq(0,0)$ 时 $x^2+y^2>0$，放缩有效。
步骤 5/7
目标：写出可微的定义并代入已知量
若 $f$ 在原点可微，则存在线性近似：
$$f(h,k)-f(0,0) = f_x'(0,0)h + f_y'(0,0)k + o(\sqrt{h^2+k^2}).$$
代入 $f(0,0)=0$, $f_x'(0,0)=1$, $f_y'(0,0)=0$，得
$$\frac{h^3}{h^2+k^2} = h + \varepsilon(h,k)\sqrt{h^2+k^2},$$
其中 $\varepsilon(h,k)\to 0$ 当 $(h,k)\to(0,0)$。
公式：$$\frac{h^3}{h^2+k^2} = h + \varepsilon\sqrt{h^2+k^2}$$
提示：可微定义中的余项必须是比 $\sqrt{h^2+k^2}$ 高阶的无穷小。
步骤 6/7
目标：解出余项 ε 并选取特殊路径
由上式解出 $\varepsilon$：
$$\varepsilon(h,k) = \frac{\frac{h^3}{h^2+k^2} - h}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{h^3 - h(h^2+k^2)}{(h^2+k^2)^{3/2}} = \frac{-h k^2}{(h^2+k^2)^{3/2}}.$$
取路径 $k = h$（$h>0$），则
$$\varepsilon(h,h) = \frac{-h \cdot h^2}{(h^2+h^2)^{3/2}} = \frac{-h^3}{(2h^2)^{3/2}} = \frac{-h^3}{2^{3/2} |h|^3} = -\frac{1}{2^{3/2}}.$$
该值为非零常数，不趋于0，与可微条件矛盾。
公式：$$\varepsilon(h,h) = -\frac{1}{2^{3/2}}$$
提示：选择路径 $k=h$ 时，注意 $h>0$ 以保证 $|h|=h$；若 $h<0$ 结果符号相反但同样非零。
步骤 7/7
目标：得出结论：函数在原点不可微
由于存在路径使得 $\varepsilon$ 不趋于0，不满足可微的定义，因此 $f(x,y)$ 在原点不可微。
公式：无
提示：可微的必要条件是偏导数存在且连续，但本题偏导数不连续，故不可微。
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