北京工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 在区间
$\displaystyle [0,1]$ 上连续在 0 点右导数存在，且 $\displaystyle f(0)=0, f_{+}^{\prime}(0)=1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将三重积分化为球坐标形式
积分区域为 $x^2+y^2+z^2 \le t^2$，半径为 $|t|$ 的球体。采用球坐标变换：$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$，体积元 $dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。被积函数 $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) = f(r)$。积分变为：
\[
\iiint_{r\le t} f(r)\, r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi
\]
角度部分积分：$\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 4\pi$，因此原三重积分等于 $4\pi \int_0^t f(r)\, r^2\, dr$。
公式：\iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\, dV = 4\pi \int_0^t f(r)\, r^2\, dr
提示：注意球坐标变换中 $r \ge 0$，且 $t \to 0$ 时只需考虑 $t>0$ 情形，负方向由对称性可得相同结果。
步骤 2/5
目标：写出极限表达式
将三重积分的结果代入原极限：
\[
\lim_{t \to 0} \frac{1}{t^4} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\, dV = \lim_{t \to 0} \frac{4\pi}{t^4} \int_0^t f(r)\, r^2\, dr
\]
公式：\lim_{t \to 0} \frac{4\pi}{t^4} \int_0^t f(r)\, r^2\, dr
提示：注意 $t^4$ 在分母，积分上限为 $t$，需利用 $f$ 在 $0$ 附近的性质。
步骤 3/5
目标：利用已知条件分析 $f(r)$ 在 $0$ 附近的行为
已知 $f(0)=0$，且右导数 $f'_+(0)=1$，即 $\lim_{r \to 0^+} \frac{f(r)}{r} = 1$。因此存在函数 $\varepsilon(r) \to 0$（当 $r \to 0^+$），使得 $f(r) = r + r\varepsilon(r)$。
公式：f(r) = r + r\varepsilon(r), \quad \varepsilon(r) \to 0 \ (r \to 0^+)
提示：这里 $\varepsilon(r)$ 是无穷小量，用于后续估计误差。
步骤 4/5
目标：代入积分并估计主要部分和误差
将 $f(r) = r + r\varepsilon(r)$ 代入积分：
\[
\int_0^t f(r)\, r^2\, dr = \int_0^t r^3\, dr + \int_0^t r^3 \varepsilon(r)\, dr
\]
主要部分：$\int_0^t r^3\, dr = \frac{t^4}{4}$。对于误差项，由于 $\varepsilon(r) \to 0$，对任意 $\delta > 0$，存在 $t$ 足够小使得 $|\varepsilon(r)| < \delta$，则
\[
\left|\int_0^t r^3 \varepsilon(r)\, dr\right| \le \delta \int_0^t r^3\, dr = \delta \frac{t^4}{4}
\]
因此 $\int_0^t f(r)\, r^2\, dr = \frac{t^4}{4} + o(t^4)$。
公式：\int_0^t f(r)\, r^2\, dr = \frac{t^4}{4} + o(t^4)
提示：误差项 $o(t^4)$ 表示比 $t^4$ 高阶的无穷小，需注意 $\varepsilon(r)$ 的一致有界性。
步骤 5/5
目标：代回极限并得出结果
将积分估计代入极限：
\[
\frac{4\pi}{t^4} \int_0^t f(r)\, r^2\, dr = \frac{4\pi}{t^4} \left( \frac{t^4}{4} + o(t^4) \right) = \pi + o(1)
\]
当 $t \to 0^+$ 时，极限为 $\pi$。对于 $t \to 0^-$，由于积分区域对称且只依赖 $|t|$，结果相同。因此原极限为 $\pi$。
公式：\lim_{t \to 0} \frac{1}{t^4} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\, dV = \pi
提示：最终结果与 $f$ 在 $0$ 点的导数有关，注意 $f(0)=0$ 是必要条件。
步骤 6/6
目标：求极限
将积分结果代入极限：
$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t^4} \int_0^t 4\pi r^2 f(r) dr = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t^4 + o(t^4)}{t^4} = \pi.$$
提示：注意 $o(t^4)/t^4 \to 0$，因此极限为 $\pi$。
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