北京工业大学 2017年数学分析第0题

要证明 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a,+\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

由 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}[g(x)-f(x)]=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使得当 $x>M$ 时，有 $|g(x)-f(x)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。

由于 $f(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上连续，闭区间上连续函数必一致连续，因此存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。

已知 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，故存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。对任意 $x_1,x_2\in[M,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta_2$，利用三角不等式： $|f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-g(x_1)|+|g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_2)-f(x_2)|$。 由第一步，$|f(x_1)-g(x_1)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$，$|g(x_2)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$；由 $g$ 的一致连续性，$|g(x_1)-g(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。因此 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，由于 $\delta \le 1$，两点不可能一个在 $[a,M]$ 另一个在 $[M+1,+\infty)$（因为距离至少为 1）。因此它们要么同时属于 $[a,M+1]$，要么同时属于 $[M,+\infty)$。在前一种情形，由第二步得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$；在后一种情形，由第三步得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$ 且 $|x_1 - x_2| < \delta$，分情况讨论： - 若 $x_1, x_2$ 都在 $[a, M+1]$ 内，由 $\delta \leq \delta_2$ 得 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$； - 若 $x_1, x_2$ 都在 $[M, +\infty)$ 内，由 $\delta \leq \delta_1$ 得 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$； - 若 $x_1, x_2$ 分别位于 $M$ 两侧，由于 $|x_1 - x_2| < \delta \leq 1$，它们必然都落在 $[M, M+1]$ 内，属于第一种情况，同样成立。 因此，对所有 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

由上述推理，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得在整个 $[a, +\infty)$ 上，只要两点距离小于 $\delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。因此，$f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。