北京工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x+1}{x-1}$ 的极值点与拐点。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数表达式
对分子进行多项式除法：$x^3-3x^2+3x+1$ 除以 $x-1$。使用综合除法，系数为 1, -3, 3, 1，代入 $x=1$ 得商 $x^2-2x+1$，余数 2。因此 $f(x) = x^2-2x+1 + \frac{2}{x-1} = (x-1)^2 + \frac{2}{x-1}$。定义域为 $x \neq 1$。
公式：f(x) = (x-1)^2 + \frac{2}{x-1}
提示：注意定义域排除 x=1，后续求导和求拐点时需确保 x≠1。
步骤 2/5
目标：求一阶导数并找出驻点
对 $f(x) = (x-1)^2 + \frac{2}{x-1}$ 求导：$f'(x) = 2(x-1) - \frac{2}{(x-1)^2}$。通分得 $f'(x) = \frac{2(x-1)^3 - 2}{(x-1)^2} = \frac{2[(x-1)^3 - 1]}{(x-1)^2}$。令分子为零：$(x-1)^3 - 1 = 0$，解得 $(x-1)^3 = 1$，即 $x-1=1$，$x=2$。
公式：f'(x) = \frac{2[(x-1)^3 - 1]}{(x-1)^2}
提示：分母恒正（x≠1），只需关注分子符号。
步骤 3/5
目标：判断极值类型并计算极值
当 $x<2$ 且接近2时（如 $x=1.5$），$(x-1)^3-1 = 0.125-1<0$，$f'(x)<0$；当 $x>2$（如 $x=3$），$(2)^3-1=8-1>0$，$f'(x)>0$。导数由负变正，故 $x=2$ 处取得极小值。计算 $f(2) = (2-1)^2 + \frac{2}{2-1} = 1+2=3$。无极大值。
公式：f(2) = 3
提示：注意检查导数符号变化，确保极值点判断正确。
步骤 4/5
目标：求二阶导数并找出可能的拐点
由 $f'(x) = 2(x-1) - 2(x-1)^{-2}$ 求导得 $f''(x) = 2 + 4(x-1)^{-3} = 2 + \frac{4}{(x-1)^3}$。令 $f''(x)=0$：$2 + \frac{4}{(x-1)^3} = 0$，解得 $(x-1)^3 = -2$，即 $x-1 = -\sqrt[3]{2}$，$x = 1 - \sqrt[3]{2}$。
公式：f''(x) = 2 + \frac{4}{(x-1)^3}
提示：二阶导为零的点不一定是拐点，需验证左右二阶导是否变号。
步骤 5/5
目标：判断拐点并计算坐标
设 $a = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$，临界点 $x_0 = 1-a \approx -0.26$。取 $x=0$（大于 $x_0$），$(0-1)^3=-1$，$f''(0)=2+4/(-1)=-2<0$；取 $x=-1$（小于 $x_0$），$(-2)^3=-8$，$f''(-1)=2+4/(-8)=1.5>0$。二阶导由正变负，故为拐点。计算纵坐标：$f(1-\sqrt[3]{2}) = (-\sqrt[3]{2})^2 + \frac{2}{-\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = 0$。拐点为 $(1-\sqrt[3]{2}, 0)$。
公式：f(1-\sqrt[3]{2}) = 0
提示：计算拐点纵坐标时注意化简：$\frac{2}{\sqrt[3]{2}} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$。
步骤 6/6
目标：总结答案
极小值点为 $(2, 3)$；拐点为 $(1-\sqrt[3]{2}, 0)$。函数在 $x=1$ 处无定义，无其他极值或拐点。
公式：极小值点：$(2,3)$；拐点：$(1-\sqrt[3]{2}, 0)$
提示：注意定义域限制，$x=1$ 是间断点，不参与讨论。
步骤 7/7
目标：计算拐点坐标
计算 $f(1-\sqrt[3]{2}) = (1-\sqrt[3]{2}-1)^2 + \frac{2}{1-\sqrt[3]{2}-1} = (-\sqrt[3]{2})^2 + \frac{2}{-\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = 0$。所以拐点为 $(1-\sqrt[3]{2}, 0)$。
公式：代入函数表达式
提示：注意化简 $\frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4}$，因为 $\frac{2}{2^{1/3}} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$。
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