北京工业大学 2018年数学分析第1题
📝 题目
1．计算 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} d x d y d z$ ，其中 $V$ 是空间域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2 z$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：理解积分区域并改写为标准形式
给定不等式 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2z$，移项得 $x^2 + y^2 + z^2 - 2z \leq 0$，配方得到 $x^2 + y^2 + (z-1)^2 \leq 1$。因此积分区域 $V$ 是一个球心在 $(0,0,1)$、半径为 $1$ 的球体。
公式：$x^2 + y^2 + (z-1)^2 \leq 1$
提示：注意配方时不要遗漏常数项，$z^2-2z = (z-1)^2 - 1$。
步骤 2/9
目标：进行坐标平移并引入球坐标
令 $u = x$, $v = y$, $w = z-1$，则区域变为 $u^2+v^2+w^2 \leq 1$，被积函数变为 $(u^2+v^2+(w+1)^2)^{5/2}$。在 $(u,v,w)$ 空间采用球坐标：$u = r\sin\theta\cos\phi$, $v = r\sin\theta\sin\phi$, $w = r\cos\theta$，其中 $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq \pi$, $0 \leq \phi \leq 2\pi$。体积元 $dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$。
公式：$u^2+v^2+(w+1)^2 = r^2 + 2r\cos\theta + 1$
提示：平移后球心在原点，但被积函数中出现 $w+1$，需小心展开。
步骤 3/9
目标：写出三重积分并先对 $\phi$ 积分
积分化为 $I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{1} (r^2+2r\cos\theta+1)^{5/2}\, r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$。由于被积函数与 $\phi$ 无关，直接积分得因子 $2\pi$：$I = 2\pi \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{1} (r^2+2r\cos\theta+1)^{5/2}\, r^2\sin\theta\, dr\, d\theta$。
公式：$I = 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (r^2+2r\cos\theta+1)^{5/2} r^2\sin\theta\, dr\, d\theta$
提示：先对 $\phi$ 积分是常见简化步骤，注意积分限正确。
步骤 4/9
目标：对 $\theta$ 积分进行变量代换
令 $t = \cos\theta$，则 $dt = -\sin\theta\, d\theta$，当 $\theta=0$ 时 $t=1$，$\theta=\pi$ 时 $t=-1$。于是 $\int_{\theta=0}^{\pi} (\cdots) \sin\theta\, d\theta = \int_{t=1}^{-1} (\cdots)(-dt) = \int_{t=-1}^{1} (\cdots)\, dt$。积分变为 $I = 2\pi \int_{r=0}^{1} r^2 \left[ \int_{t=-1}^{1} (r^2+2rt+1)^{5/2}\, dt \right] dr$。
公式：$\int_{0}^{\pi} f(\cos\theta)\sin\theta\, d\theta = \int_{-1}^{1} f(t)\, dt$
提示：注意换元时积分限的变化，$\sin\theta\, d\theta$ 恰好与 $dt$ 匹配。
步骤 5/9
目标：计算内层对 $t$ 的积分
记 $A = r^2+1$, $B = 2r$，则内层积分为 $\int_{-1}^{1} (A+Bt)^{5/2}\, dt$。求原函数：$\int (A+Bt)^{5/2} dt = \frac{2}{7B} (A+Bt)^{7/2} + C$。代入上下限得 $\frac{2}{7B}\left[(A+B)^{7/2} - (A-B)^{7/2}\right]$。由于 $A+B = (r+1)^2$, $A-B = (r-1)^2$，且 $0 \leq r \leq 1$，故 $(A+B)^{7/2} = (r+1)^7$, $(A-B)^{7/2} = (1-r)^7$。内层积分结果为 $\frac{1}{7r}\left[(r+1)^7 - (1-r)^7\right]$。
公式：$\int_{-1}^{1} (A+Bt)^{5/2}\, dt = \frac{1}{7r}\left[(r+1)^7 - (1-r)^7\right]$
提示：注意 $B=2r$ 在分母，但 $r=0$ 时需单独处理，此处积分限 $r>0$ 不影响最终结果。
步骤 6/9
目标：代入并化简对 $r$ 的积分
将内层积分结果代入：$I = 2\pi \int_{0}^{1} r^2 \cdot \frac{1}{7r}\left[(r+1)^7 - (1-r)^7\right] dr = \frac{2\pi}{7} \int_{0}^{1} r\left[(r+1)^7 - (1-r)^7\right] dr$。分开为两个积分：$I = \frac{2\pi}{7} \left[ \int_{0}^{1} r (r+1)^7 dr - \int_{0}^{1} r (1-r)^7 dr \right]$。
公式：$I = \frac{2\pi}{7} \left[ \int_{0}^{1} r (r+1)^7 dr - \int_{0}^{1} r (1-r)^7 dr \right]$
提示：注意 $r^2$ 与 $1/(7r)$ 约简后得到 $r/7$，不要遗漏系数。
步骤 7/9
目标：计算第一个积分 $\int_{0}^{1} r (r+1)^7 dr$
令 $u = r+1$，则 $r = u-1$, $dr = du$，积分限 $r=0 \to u=1$, $r=1 \to u=2$。积分化为 $\int_{1}^{2} (u-1) u^7 du = \int_{1}^{2} (u^8 - u^7) du = \left[ \frac{u^9}{9} - \frac{u^8}{8} \right]_{1}^{2}$。计算得 $\left(\frac{512}{9} - \frac{256}{8}\right) - \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{8}\right) = \frac{512}{9} - 32 - \frac{1}{9} + \frac{1}{8} = \frac{511}{9} - 32 + \frac{1}{8}$。通分后得 $\frac{4088 - 2304 + 9}{72} = \frac{1793}{72}$。
公式：$\int_{0}^{1} r (r+1)^7 dr = \frac{1793}{72}$
提示：注意 $\frac{256}{8}=32$，通分时分母取72，避免计算错误。
步骤 8/9
目标：计算第二个积分 $\int_{0}^{1} r (1-r)^7 dr$
令 $t = 1-r$，则 $r = 1-t$, $dr = -dt$，积分限 $r=0 \to t=1$, $r=1 \to t=0$。积分化为 $\int_{1}^{0} (1-t) t^7 (-dt) = \int_{0}^{1} (1-t) t^7 dt = \int_{0}^{1} (t^7 - t^8) dt = \left[ \frac{t^8}{8} - \frac{t^9}{9} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$。
公式：$\int_{0}^{1} r (1-r)^7 dr = \frac{1}{72}$
提示：换元后注意积分限反转，负号抵消后得到简洁结果。
步骤 9/9
目标：相减并得到最终结果
两个积分差为 $\frac{1793}{72} - \frac{1}{72} = \frac{1792}{72} = \frac{224}{9}$。因此 $I = \frac{2\pi}{7} \cdot \frac{224}{9} = \frac{448\pi}{63}$。
公式：$\iiint_{V} (x^2+y^2+z^2)^{5/2}\, dV = \frac{448\pi}{63}$
提示：最终结果可约分，$\frac{448}{63} = \frac{64}{9}$？检查：$448 \div 7 = 64$, $63 \div 7 = 9$，故 $\frac{448\pi}{63} = \frac{64\pi}{9}$。
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