北京工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
七．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且 $\displaystyle f(x) \geq g(x)$ ，同时 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} g(x) d x$ ，证明对所有的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并转化已知条件
令 $h(x) = f(x) - g(x)$。由 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，知 $h(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续。由 $f(x) \geq g(x)$ 得 $h(x) \geq 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。由积分相等条件 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$，两边相减得 $\int_a^b [f(x)-g(x)] dx = 0$，即 $\int_a^b h(x) dx = 0$。
公式：$h(x)=f(x)-g(x)\geq 0$，$\int_a^b h(x) dx = 0$
提示：注意构造的辅助函数非负且连续，这是后续推理的基础。
步骤 2/4
目标：反证法假设存在点使函数值大于0
假设存在某点 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $h(x_0) > 0$。由于 $h(x)$ 连续，根据连续函数的局部保号性，存在一个包含 $x_0$ 的小区间 $[c,d] \subset [a,b]$（$c 0$，其中 $\varepsilon$ 可取为 $h(x_0)/2$。
公式：$h(x_0)>0 \Rightarrow \exists [c,d] \subset [a,b], \forall x \in [c,d], h(x) \geq \varepsilon = h(x_0)/2 > 0$
提示：连续性保证我们能找到这样一个小区间，这是关键步骤。
步骤 3/4
目标：由局部正性推出积分矛盾
由于 $h(x) \geq 0$ 在整个区间上成立，而在子区间 $[c,d]$ 上 $h(x) \geq \varepsilon$，因此积分有下界：$\int_a^b h(x) dx \geq \int_c^d h(x) dx \geq \varepsilon (d-c) > 0$。这与已知条件 $\int_a^b h(x) dx = 0$ 矛盾。
公式：$\int_a^b h(x) dx \geq \varepsilon (d-c) > 0$
提示：非负函数的积分在局部正的区域上必然为正，这是矛盾的核心。
步骤 4/4
目标：得出结论
反证假设不成立，因此不存在任何 $x \in [a,b]$ 使得 $h(x) > 0$。结合 $h(x) \geq 0$，得 $h(x) = 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，即 $f(x) = g(x)$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。
公式：$h(x) \equiv 0 \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x \in [a,b]$
提示：结论直接由反证法得出，注意逻辑的严密性。
步骤 5/5
目标：得出结论
反证法假设不成立，因此不存在任何 $x \in [a,b]$ 使得 $h(x) > 0$。结合 $h(x) \geq 0$，可知对所有 $x \in [a,b]$ 有 $h(x) = 0$，即 $f(x) = g(x)$。
公式：$h(x) \equiv 0 \Rightarrow f(x) = g(x), \forall x \in [a,b]$
提示：结论是处处相等，不仅仅是几乎处处相等，因为连续性保证了这一点。
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