北京工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle \| f(a)<0, f(b)>0$ 。证明：
（1）集合 $\displaystyle A=\{x \in[a, b] \mid f(x)<0\}$ 有 $\displaystyle \mid$ ：确界。
（2）如果 $\displaystyle \sup A=l$ ，则 $\displaystyle f(l)=0$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明集合A非空且有上界
由条件$f(a)<0$可知$a\in A$，故$A$非空。又因为$A\subseteq[a,b]$，而$[a,b]$是有界闭区间，所以$A$有上界（例如$b$是$A$的一个上界）。
公式：A \subseteq [a,b] \Rightarrow \sup A \leq b
提示：注意非空和有界是应用确界原理的前提，缺一不可。
步骤 2/5
目标：应用确界原理得出A有上确界
根据实数完备性中的确界原理：非空有上界的实数集必有上确界。因此集合$A$存在上确界，记作$l=\sup A$。
公式：\exists l = \sup A \in \mathbb{R}
提示：确界原理是实数理论的核心结论，此处直接引用即可。
步骤 3/5
目标：证明f(l)不可能小于0
假设$f(l)<0$。由$f$在$l$处的连续性，存在$\delta>0$，使得当$|x-l|<\delta$且$x\in[a,b]$时，有$f(x)<0$。取$x=l+\frac{\delta}{2}$（注意$l0$矛盾），则$x\in A$且$x>l$，这与$l$是$A$的上确界矛盾。故$f(l)\not<0$。
公式：\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in[a,b],|x-l|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(l)|<\varepsilon
提示：利用连续性构造比上确界更大的点属于A，从而导出矛盾。
步骤 4/5
目标：证明f(l)不可能大于0
假设$f(l)>0$。由连续性，存在$\delta>0$，使得当$|x-l|<\delta$且$x\in[a,b]$时，有$f(x)>0$。取$x=l-\frac{\delta}{2}$，则$x0$，故$x\notin A$。但由$l=\sup A$的定义，在$l$左侧任意邻域内应存在$A$中的点，这与$(l-\delta,l)$内所有点都不属于$A$矛盾。故$f(l)\not>0$。
公式：l = \sup A \Rightarrow \forall \varepsilon>0,\exists x\in A: l-\varepsilon
提示：注意上确界的性质：任意左邻域内都有A中的点，而连续性能保证一个小区间内函数值同号。
步骤 5/5
目标：由实数性质得出f(l)=0
由于$f(l)$是实数，且已证$f(l)<0$和$f(l)>0$均不可能，故必有$f(l)=0$。
公式：f(l)=0
提示：这是实数三歧性的直接应用。
步骤 6/6
目标：结论：$f(l) = 0$
综合两种情况，假设不成立，故 $f(l) = 0$。
提示：这是零点定理的证明思路，利用确界和连续函数的局部保号性。
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