北京工业大学 2018年数学分析第0题

给定圆的方程为 $(x-b)^2 + y^2 = a^2$，其中 $0 < a < b$。圆心位于 $(b, 0)$，半径为 $a$。由于 $a < b$，整个圆位于 $y$ 轴右侧，不与 $y$ 轴相交。绕 $y$ 轴旋转一周，将形成一个类似轮胎（环面）的立体。对于固定的 $y$，圆上的 $x$ 坐标有两个值：$x = b \pm \sqrt{a^2 - y^2}$，分别对应旋转体的外半径和内半径。

对于 $y \in [-a, a]$，旋转体的水平切片是一个圆环。外半径 $R(y)$ 对应较大的 $x$ 值，内半径 $r(y)$ 对应较小的 $x$ 值： $$R(y) = b + \sqrt{a^2 - y^2}, \quad r(y) = b - \sqrt{a^2 - y^2}.$$

圆环的面积为 $\pi [R(y)^2 - r(y)^2]$。计算差值： $$R^2 - r^2 = (b + \sqrt{a^2 - y^2})^2 - (b - \sqrt{a^2 - y^2})^2.$$ 利用平方差公式 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$，其中 $A = b + \sqrt{a^2 - y^2}$，$B = b - \sqrt{a^2 - y^2}$，得： $$A-B = 2\sqrt{a^2 - y^2}, \quad A+B = 2b.$$ 因此 $R^2 - r^2 = 4b \sqrt{a^2 - y^2}$，圆环面积为 $4\pi b \sqrt{a^2 - y^2}$。

旋转体的体积 $V$ 等于所有水平切片面积在 $y$ 方向上的积分。$y$ 的取值范围是 $[-a, a]$，因此： $$V = \int_{y=-a}^{a} 4\pi b \sqrt{a^2 - y^2} \, dy.$$ 被积函数 $\sqrt{a^2 - y^2}$ 是偶函数，积分区间对称，可化简为： $$V = 8\pi b \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \, dy.$$

积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \, dy$ 表示半径为 $a$ 的四分之一圆的面积，即 $\frac{\pi a^2}{4}$。因此： $$V = 8\pi b \cdot \frac{\pi a^2}{4} = 2\pi^2 a^2 b.$$

旋转体的体积为 $V = 2\pi^2 a^2 b$。这是环面（torus）的体积公式，其中 $a$ 是生成圆的半径，$b$ 是圆心到旋转轴的距离。

使用柱壳法验证：考虑 $x$ 从 $b-a$ 到 $b+a$，对应 $y = \pm \sqrt{a^2 - (x-b)^2}$。柱壳半径为 $x$，高度为 $2\sqrt{a^2 - (x-b)^2}$，厚度 $dx$。体积微元 $dV = 2\pi x \cdot 2\sqrt{a^2 - (x-b)^2} \, dx = 4\pi x \sqrt{a^2 - (x-b)^2} \, dx$。令 $u = x-b$，则 $x = u+b$，$dx = du$，$u \in [-a, a]$。积分得 $V = 4\pi \int_{-a}^{a} (u+b) \sqrt{a^2 - u^2} \, du = 4\pi \int_{-a}^{a} u \sqrt{a^2 - u^2} \, du + 4\pi b \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - u^2} \, du$。第一项奇函数积分为零，第二项同前，得 $V = 2\pi^2 a^2 b$。