北京工业大学 2018年数学分析第0题

已知：每个 $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；对每个固定的 $x \in [a,b]$，数列 $\{f_n(x)\}$ 有界（逐点有界）。要证明：存在子区间 $[c,d] \subset [a,b]$，使得函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[c,d]$ 上一致有界，即存在常数 $M>0$，对任意 $x \in [c,d]$ 和任意正整数 $n$，有 $|f_n(x)| \le M$。

假设结论不成立，即对任意闭区间 $I \subset [a,b]$（长度大于0），函数列 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上都不是一致有界的。这意味着：对任意 $I$ 和任意正数 $M$，总存在 $x \in I$ 和某个 $n$，使得 $|f_n(x)| > M$。

令 $[a_1,b_1] = [a,b]$。由假设，存在 $x_1 \in [a_1,b_1]$ 和指标 $n_1$，使得 $|f_{n_1}(x_1)| > 1$。由于 $f_{n_1}$ 连续，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $|x - x_1| < \delta_1$ 时 $|f_{n_1}(x) - f_{n_1}(x_1)| < \frac{|f_{n_1}(x_1)| - 1}{2}$，从而 $|f_{n_1}(x)| > 1$。取闭区间 $[a_2,b_2] \subset [a_1,b_1]$，包含 $x_1$，长度小于 $(b-a)/2$，且满足 $|f_{n_1}(x)| > 1$ 对所有 $x \in [a_2,b_2]$ 成立。

假设已构造出 $[a_k,b_k]$ 和 $n_{k-1}$，使得 $|f_{n_{k-1}}(x)| > k-1$ 在 $[a_k,b_k]$ 上成立。由反证假设，在 $[a_k,b_k]$ 上函数列不是一致有界的，故存在 $x_k \in [a_k,b_k]$ 和 $n_k > n_{k-1}$，使得 $|f_{n_k}(x_k)| > k$。由 $f_{n_k}$ 的连续性，存在小区间 $[a_{k+1},b_{k+1}] \subset [a_k,b_k]$，包含 $x_k$，长度小于 $(b-a)/2^k$，且 $|f_{n_k}(x)| > k$ 对所有 $x \in [a_{k+1},b_{k+1}]$ 成立。如此递推，得到一列闭区间 $[a,b] \supset [a_2,b_2] \supset [a_3,b_3] \supset \cdots$，长度趋于0，且在每个 $[a_k,b_k]$ 上 $|f_{n_{k-1}}(x)| > k-1$（其中 $n_0$ 可视为 $n_1$）。

由闭区间套定理，存在唯一一点 $x_0 \in \bigcap_{k=1}^\infty [a_k,b_k]$。由于 $x_0 \in [a_{k+1},b_{k+1}]$，对每个 $k$ 有 $|f_{n_k}(x_0)| > k$。因此子列 $\{f_{n_k}(x_0)\}$ 无界，从而整个序列 $\{f_n(x_0)\}$ 无界。这与题设“对每个 $x$，$\{f_n(x)\}$ 有界”矛盾。

反证假设不成立，故原命题成立：存在 $[a,b]$ 的一个子区间，使得函数列 $\{f_n(x)\}$ 在该子区间上一致有界。