北京工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 满足如下条件：
（1）在圳区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续，
（2）在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可导。
则在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
设函数 $F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中 $x \in [a,b]$。
公式：$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
提示：辅助函数的构造是拉格朗日中值定理证明的关键，目的是将问题转化为罗尔定理的形式。
步骤 2/6
目标：验证连续性
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，而 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 是线性函数，也在 $[a,b]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
提示：连续函数的线性组合仍然连续。
步骤 3/6
目标：验证可导性
由于 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，而 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 的导数为常数 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，因此 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。
公式：$F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：可导函数的线性组合仍然可导。
步骤 4/6
目标：计算端点函数值
计算 $F(a)$ 和 $F(b)$：\n$F(a) = f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)$\n$F(b) = f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(b) - (f(b)-f(a)) = f(a)$\n因此 $F(a) = F(b)$。
公式：$F(a) = F(b) = f(a)$
提示：注意代入时 $x=a$ 和 $x=b$ 的简化计算，确保两端点函数值相等。
步骤 5/6
目标：应用罗尔定理
由罗尔定理，若函数 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。
公式：$F'(\xi)=0$
提示：罗尔定理的三个条件缺一不可，需逐一验证。
步骤 6/6
目标：推导结论
由 $F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，令 $x=\xi$，得 $f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
提示：这是拉格朗日中值定理的最终结论，注意 $\xi$ 在开区间 $(a,b)$ 内。
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