北京工业大学 2018年数学分析第2题
📝 题目
2．计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x\left(y^{2}+z^{2}\right) d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 且外侧为正侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分类型与投影方向
题目要求计算第二类曲面积分 \(\displaystyle \oiint_{\Sigma} x(y^2+z^2) \, dy \, dz\)，其中 \(\Sigma\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=4\) 的外侧。积分微元 \(dy\,dz\) 表示将曲面投影到 \(yOz\) 平面，且与 \(x\) 轴方向有关。对于外侧，前半球（\(x>0\)）法向指向 \(x\) 正方向，对应 \(dy\,dz\) 符号为正；后半球（\(x<0\)）法向指向 \(x\) 负方向，对应 \(dy\,dz\) 符号为负。
公式：\oiint_{\Sigma} P \, dy \, dz = \pm \iint_{D_{yz}} P(x(y,z), y, z) \, dy \, dz
提示：注意第二类曲面积分中，投影方向的正负由曲面侧决定，外侧为正时，前半球取正，后半球取负。
步骤 2/5
目标：将曲面积分化为两个二重积分之和
将球面分为前半球 \(x = \sqrt{4-y^2-z^2}\) 和后半球 \(x = -\sqrt{4-y^2-z^2}\)。前半球外侧对应正号，积分贡献为 \(\iint_{D} \sqrt{4-y^2-z^2} \, (y^2+z^2) \, dy \, dz\)；后半球外侧对应负号，且被积函数中 \(x\) 为负，故贡献为 \(\iint_{D} (-\sqrt{4-y^2-z^2})(y^2+z^2) \cdot (-1) \, dy \, dz = \iint_{D} \sqrt{4-y^2-z^2} \, (y^2+z^2) \, dy \, dz\)。两者相等，总和为 \(2 \iint_{D} \sqrt{4-y^2-z^2} \, (y^2+z^2) \, dy \, dz\)，其中 \(D: y^2+z^2 \le 4\)。
公式：\oiint_{\Sigma} x(y^2+z^2) \, dy \, dz = 2 \iint_{D} \sqrt{4-y^2-z^2} \, (y^2+z^2) \, dy \, dz
提示：注意后半球部分符号的推导：外侧法向与x轴反向导致dy dz取负，而被积函数x为负，负负得正，最终与前半球一致。
步骤 3/5
目标：化为极坐标计算二重积分
在 \(yOz\) 平面采用极坐标：令 \(y = r\cos\theta\)，\(z = r\sin\theta\)，则 \(y^2+z^2 = r^2\)，面积元 \(dy\,dz = r \, dr \, d\theta\)，积分区域 \(0 \le r \le 2\)，\(0 \le \theta \le 2\pi\)。积分变为：
\[ 2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \sqrt{4-r^2} \cdot r^2 \cdot r \, dr = 4\pi \int_0^2 r^3 \sqrt{4-r^2} \, dr \]
公式：\iint_D f(r) \, dy \, dz = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 f(r) \, r \, dr
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式 \(r\)，且注意 \(r^3\) 来自 \(r^2 \cdot r\)。
步骤 4/5
目标：计算定积分 \(\int_0^2 r^3 \sqrt{4-r^2} \, dr\)
令 \(t = 4 - r^2\)，则 \(r^2 = 4 - t\)，\(r \, dr = -\frac{1}{2} dt\)，\(r^3 \, dr = r^2 \cdot r \, dr = (4-t) \cdot (-\frac{1}{2}) dt\)。换限：\(r=0\) 时 \(t=4\)，\(r=2\) 时 \(t=0\)。积分化为：
\[ \int_0^2 r^3 \sqrt{4-r^2} \, dr = \int_4^0 (4-t) \sqrt{t} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) dt = \frac{1}{2} \int_0^4 (4-t) t^{1/2} \, dt \]
计算：
\[ \frac{1}{2} \int_0^4 (4 t^{1/2} - t^{3/2}) \, dt = \frac{1}{2} \left[ 4 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_0^4 \]
代入 \(t=4\)：\(t^{3/2}=8\)，\(t^{5/2}=32\)，得 \(\frac{1}{2} \left( \frac{64}{3} - \frac{64}{5} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{128}{15} = \frac{64}{15}\)。
公式：\int_0^2 r^3 \sqrt{4-r^2} \, dr = \frac{64}{15}
提示：换元时注意积分限的变化和符号处理，最终结果为正。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到最终结果
原积分 \(= 4\pi \times \frac{64}{15} = \frac{256\pi}{15}\)。
公式：\oiint_{\Sigma} x(y^2+z^2) \, dy \, dz = \frac{256\pi}{15}
提示：最后检查系数：前面有 \(4\pi\)，积分结果为 \(\frac{64}{15}\)，乘积无误。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
代入上一步结果：
$$\iiint_V (y^2+z^2) \, dV = \frac{2}{3} \cdot \frac{128\pi}{5} = \frac{256\pi}{15}.$$
因此原积分为 $\frac{256\pi}{15}$。
提示：最终结果化简为最简分数。
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