北京工业大学 2018年数学分析第3题
📝 题目
3．已知方程 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ，求 $\displaystyle \frac{d y}{d x}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：简化原方程
原方程为 $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$。利用对数性质 $\ln \sqrt{A} = \frac{1}{2}\ln A$，化简为 $\frac{1}{2} \ln(x^{2}+y^{2}) = \arctan \frac{y}{x}$。
公式：$\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2} \ln(x^{2}+y^{2})$
提示：注意对数化简时，根号对应指数1/2，不要遗漏系数。
步骤 2/5
目标：对等式两边关于x求导（左边）
对左边 $\frac{1}{2} \ln(x^{2}+y^{2})$ 求导，其中 $y$ 是 $x$ 的函数：$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} \ln(x^{2}+y^{2})\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot (2x + 2y y') = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}}$。
公式：$\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$，其中 $u=x^{2}+y^{2}$
提示：求导时不要忘记 $y$ 是 $x$ 的函数，$y^2$ 的导数是 $2y y'$。
步骤 3/5
目标：对等式两边关于x求导（右边）
对右边 $\arctan\frac{y}{x}$ 求导：$\frac{d}{dx}\left[\arctan\frac{y}{x}\right] = \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right)$。先计算 $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{y' x - y}{x^{2}}$，而 $\frac{1}{1+(y/x)^2} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$，相乘得 $\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}}$。
公式：$\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{1}{1+u^{2}}\frac{du}{dx}$，其中 $u=\frac{y}{x}$
提示：商 $\frac{y}{x}$ 的导数公式为 $\frac{y'x - y}{x^2}$，注意分子顺序。
步骤 4/5
目标：建立导数方程并化简
由左右导数相等得：$\frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}}$。由于分母 $x^{2}+y^{2} \neq 0$（原点处方程无定义），可消去分母，得到 $x + y y' = y' x - y$。
公式：$\frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow x + y y' = y' x - y$
提示：消去分母前需确认分母不为零，否则需单独讨论。
步骤 5/5
目标：解出导数y'
将含 $y'$ 的项移到一边：$y y' - x y' = -y - x$，即 $y'(y - x) = -(x + y)$。因此 $y' = \frac{-(x+y)}{y-x} = \frac{x+y}{x-y}$。
公式：$y' = \frac{x+y}{x-y}$
提示：最后一步分子分母同时乘以-1可化简，注意符号不要出错。
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