北京工业大学 2018年数学分析第5题
📝 题目
5．求曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 在 $\displaystyle (1,1,1)$ 点的切平面与坐标轴的交点到原点的距离之和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证点是否在曲面上，并修正曲面方程
将点 $(1,1,1)$ 代入原曲面方程 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$，得 $\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}=3 \neq 1$，因此该点不在曲面上。为使点 $(1,1,1)$ 在曲面上，曲面方程应修正为 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3$。
公式：$\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}=3$
提示：注意验证给定点是否满足曲面方程，若不满足需根据题意合理修正。
步骤 2/5
目标：求曲面在给定点的梯度（法向量）
设 $F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-3=0$，则梯度为 $\nabla F = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}} \right)$。在点 $(1,1,1)$ 处，梯度为 $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$。
公式：$\nabla F(1,1,1)=\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$
提示：梯度向量是切平面的法向量，计算时注意对根号函数求导的正确性。
步骤 3/5
目标：写出切平面方程
利用点法式，切平面方程为 $\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2}(z-1)=0$。两边乘以 $2$ 化简得 $(x-1)+(y-1)+(z-1)=0$，即 $x+y+z=3$。
公式：$x+y+z=3$
提示：化简时注意符号，最终方程应简洁。
步骤 4/5
目标：求切平面与三个坐标轴的交点
与 $x$ 轴交点：令 $y=0,z=0$，代入 $x+y+z=3$ 得 $x=3$，交点为 $(3,0,0)$。与 $y$ 轴交点：令 $x=0,z=0$，得 $y=3$，交点为 $(0,3,0)$。与 $z$ 轴交点：令 $x=0,y=0$，得 $z=3$，交点为 $(0,0,3)$。
公式：$(3,0,0), (0,3,0), (0,0,3)$
提示：坐标轴上的点有两个坐标为零，依次代入求解。
步骤 5/5
目标：计算各交点到原点的距离并求和
原点到 $(3,0,0)$ 的距离为 $\sqrt{3^2+0^2+0^2}=3$；到 $(0,3,0)$ 的距离为 $3$；到 $(0,0,3)$ 的距离为 $3$。因此距离之和为 $3+3+3=9$。
公式：$3+3+3=9$
提示：坐标轴上的点到原点的距离即为坐标的绝对值。
步骤 6/7
目标：计算各交点到原点的距离
点 $(3,0,0)$ 到原点距离为 $\sqrt{3^2+0^2+0^2}=3$，同理其他两点距离也为3。
公式：距离公式 $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
提示：距离是正值，注意不要遗漏平方根。
步骤 7/7
目标：求和得到最终答案
三个距离之和为 $3+3+3=9$。
提示：求和时注意单位统一，本题无单位。
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