北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）已知 $\displaystyle a, q$ 为常数， $\displaystyle 0<q<1$ ，且 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=q \sin x_{n}+a$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与目标
已知常数 $a, q$，且 $0 < q < 1$，数列定义为 $x_0 = 1$，$x_{n+1} = q \sin x_n + a$。目标是证明数列 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：x_{n+1} = q \sin x_n + a
提示：注意参数范围 $0
步骤 2/6
目标：构造迭代函数并分析其性质
定义函数 $f(x) = q \sin x + a$，则递推关系可写为 $x_{n+1} = f(x_n)$。为证明数列收敛，考虑使用压缩映射原理，即证明 $f$ 是压缩映射。
公式：f(x) = q \sin x + a
提示：压缩映射原理要求存在常数 $0 \le k < 1$，使得对任意 $u, v$ 有 $|f(u)-f(v)| \le k|u-v|$。
步骤 3/6
目标：计算导数并验证压缩条件
计算 $f$ 的导数：$f'(x) = q \cos x$。由于 $0 < q < 1$ 且 $|\cos x| \le 1$，故对任意实数 $x$ 有 $|f'(x)| = q|\cos x| \le q < 1$。
公式：f'(x) = q \cos x, \quad |f'(x)| \le q < 1
提示：导数绝对值有界且小于1是应用拉格朗日中值定理得到全局压缩性的关键。
步骤 4/6
目标：应用拉格朗日中值定理证明压缩性
对任意 $u, v \in \mathbb{R}$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $u, v$ 之间，使得 $|f(u)-f(v)| = |f'(\xi)| \cdot |u-v| \le q |u-v|$。因此 $f$ 是压缩系数为 $q$ 的压缩映射。
公式：|f(u)-f(v)| \le q |u-v|
提示：压缩性对所有实数成立，无需限制区间。
步骤 5/6
目标：应用压缩映射原理得到收敛性
根据巴拿赫不动点定理（压缩映射原理），在完备度量空间 $\mathbb{R}$ 上，压缩映射 $f$ 存在唯一不动点 $L$，且从任意初始点 $x_0$ 出发的迭代序列 $x_{n+1}=f(x_n)$ 收敛到 $L$。这里 $x_0=1$，故数列 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} x_n = L, \quad L = q \sin L + a
提示：不需要具体解出极限值，只需证明收敛性即可。注意 $\mathbb{R}$ 是完备的。
步骤 6/6
目标：总结结论
数列 $\{x_n\}$ 收敛，其极限 $L$ 满足方程 $L = q \sin L + a$。
公式：\text{数列收敛}
提示：本题主要考查压缩映射原理的应用，注意参数 $q$ 的范围保证了压缩性。
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