📝 北京工业大学 2019年数学分析真题

一．（15 分）已知 $\displaystyle a, q$ 为常数， $\displaystyle 0<q<1$ ，且 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=q \sin x_{n}+a$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

七．（15 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 的和函数．

三．（15 分）证明：奇次多项式 $\displaystyle P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 至少有一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$为常数且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ ．

九．（15 分）已知 $\displaystyle 0<a<b$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．

二．（ 15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x^{2}-25}=\frac{1}{10}$ ．

五．（15 分）已知下列不等式恒成立

$$
\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}<A n^{\frac{3}{2}}
$$

其中 $A$ 为常数，且 $\displaystyle 0<A<1$ ，求 $A$ 的最小值．

八．（15 分）已知 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$ ，求 $\displaystyle f(x)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值．

六．（15 分）用确界定理证明连续函数根的存在性定理．

十．（15分）有六个平面

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z= \pm h_{1} \\
a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z= \pm h_{2} \\
a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z= \pm h_{3}
\end{array}\right.
$$

且 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right)=\Delta(\Delta \neq 0)$ ，其中 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, h_{3}$ 为常数．求这六个平面所围的六面体的体积．

四．（15 分）给出一个含 $\displaystyle a, b, c$ 的函数以及它的极大小值点与极大小值，求 $\displaystyle a, b, c$ ．