北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）已知 $\displaystyle 0<a<b$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察积分形式并验证收敛性
要计算积分 \( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \sin x \, dx \)，其中 \(0
公式：\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \approx b-a \quad (x\to 0^+)
提示：注意检查积分在0和无穷远处的收敛性，这是进行后续交换积分次序的前提。
步骤 2/5
目标：将分子差写成积分形式
利用恒等式 \(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} = \int_a^b e^{-tx} \, dt\)，因为对 \(t\) 从 \(a\) 到 \(b\) 积分 \(e^{-tx}\) 正好得到 \(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\)。于是原积分化为 \( I = \int_0^{+\infty} \left( \int_a^b e^{-tx} \, dt \right) \sin x \, dx \)。
公式：\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} = \int_a^b e^{-tx} \, dt
提示：这是Frullani型积分的常用技巧，注意积分变量是t，x视为常数。
步骤 3/5
目标：交换积分次序
由于被积函数 \(e^{-tx} \sin x\) 在区域 \([a,b]\times[0,+\infty)\) 上非负且绝对可积（指数衰减保证），可以交换积分次序：\( I = \int_a^b \left( \int_0^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx \right) dt \)。
公式：I = \int_a^b \left( \int_0^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx \right) dt
提示：交换次序前需确认被积函数满足Fubini定理的条件，这里指数衰减和有限区间保证绝对可积。
步骤 4/5
目标：计算内层积分
内层积分是拉普拉斯变换：\(\int_0^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx = \frac{1}{t^2+1}\)。推导：令 \(J = \int_0^\infty e^{-tx} \sin x \, dx\)，分部积分两次或利用公式 \(\int_0^\infty e^{-tx} \sin(\omega x) dx = \frac{\omega}{t^2+\omega^2}\)，取 \(\omega=1\) 即得。
公式：\int_0^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx = \frac{1}{t^2+1}
提示：注意此结果对 \(t>0\) 成立，这里 \(a>0\) 保证 \(t\ge a>0\)。
步骤 5/5
目标：对参数t积分得到最终结果
代入内层积分结果：\( I = \int_a^b \frac{1}{t^2+1} \, dt = \arctan b - \arctan a \)。也可写成 \( I = \arctan\frac{b-a}{1+ab} \)，但保留原形式即可。
公式：I = \arctan b - \arctan a
提示：反正切差公式 \(\arctan b - \arctan a = \arctan\frac{b-a}{1+ab}\) 在 \(ab>-1\) 时成立，这里 \(a,b>0\) 满足条件。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原积分的值为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \sin x \, dx = \arctan b - \arctan a.$$
提示：结果与 $a,b$ 的具体值有关，且 $\arctan b - \arctan a = \arctan\frac{b-a}{1+ab}$ 当 $ab>-1$ 时成立。
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