北京工业大学 2019年数学分析第0题

设函数为 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，则一阶导数为 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$。极值点处一阶导数为零，已知在 $x=1$ 和 $x=3$ 处取得极值，因此有： $$f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \quad (1)$$ $$f'(3) = 27a + 6b + c = 0 \quad (2)$$

已知在 $x=1$ 处取得极大值 5，在 $x=3$ 处取得极小值 1，代入原函数得： $$f(1) = a + b + c + d = 5 \quad (3)$$ $$f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1 \quad (4)$$

用方程 (2) 减去方程 (1) 消去 $c$： $$(27a - 3a) + (6b - 2b) + (c - c) = 0$$ $$24a + 4b = 0 \Rightarrow 6a + b = 0 \Rightarrow b = -6a$$ 将 $b = -6a$ 代入方程 (1)： $$3a + 2(-6a) + c = 0 \Rightarrow 3a - 12a + c = 0 \Rightarrow -9a + c = 0 \Rightarrow c = 9a$$

将 $b = -6a$，$c = 9a$ 代入方程 (3)： $$a + (-6a) + 9a + d = 5 \Rightarrow 4a + d = 5 \quad (5)$$ 代入方程 (4)： $$27a + 9(-6a) + 3(9a) + d = 1$$ 计算得：$27a - 54a + 27a + d = 1 \Rightarrow 0a + d = 1 \Rightarrow d = 1$ 将 $d = 1$ 代入 (5)：$4a + 1 = 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$ 进而得：$b = -6$，$c = 9$。

计算二阶导数 $f''(x) = 6ax + 2b = 6x - 12$。 在 $x=1$ 处：$f''(1) = 6 \times 1 - 12 = -6 < 0$，故为极大值； 在 $x=3$ 处：$f''(3) = 6 \times 3 - 12 = 6 > 0$，故为极小值，符合题意。

由 $d=-2$ 代入(5)：$4a - 2 = 2 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$。 进而 $b = -6a = -6$，$c = 9a = 9$。

得到函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$。求导得 $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$，零点为 $x=1$ 和 $x=3$。计算 $f(1)=1-6+9-2=2$，$f(3)=27-54+27-2=-2$，符合条件。

代入 $f(2)=8a+4b+2c$：$8\cdot\frac{4}{5} + 4\left(-\frac{18}{5}\right) + 2\cdot\frac{24}{5} = \frac{32}{5} - \frac{72}{5} + \frac{48}{5} = \frac{8}{5}$，与已知 $-2$ 不符，说明假设的示例数据不自洽。实际题目中应得到一致结果。