北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）证明：奇次多项式 $\displaystyle P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 至少有一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$为常数且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
多项式为 $P(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$，其中 $a_0 \neq 0$，且 $n$ 是奇数。系数均为实数。
公式：P(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n
提示：注意 $n$ 是奇数这一关键条件，这是后续判断极限符号的依据。
步骤 2/6
目标：分析多项式在正无穷远处的极限行为
当 $x \to +\infty$ 时，最高次项 $a_0 x^n$ 起主导作用。由于 $n$ 是奇数，$x^n \to +\infty$，因此：若 $a_0 > 0$，则 $P(x) \to +\infty$；若 $a_0 < 0$，则 $P(x) \to -\infty$。
公式：\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} a_0 x^n = \begin{cases} +\infty, & a_0 > 0 \\ -\infty, & a_0 < 0 \end{cases}
提示：不要忽略 $a_0$ 的符号对极限方向的影响。
步骤 3/6
目标：分析多项式在负无穷远处的极限行为
当 $x \to -\infty$ 时，由于 $n$ 是奇数，$x^n \to -\infty$，因此：若 $a_0 > 0$，则 $P(x) \to -\infty$；若 $a_0 < 0$，则 $P(x) \to +\infty$。
公式：\lim_{x \to -\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} a_0 x^n = \begin{cases} -\infty, & a_0 > 0 \\ +\infty, & a_0 < 0 \end{cases}
提示：注意 $x^n$ 在 $n$ 为奇数时保持符号，与 $x$ 同号。
步骤 4/6
目标：得出极限符号相反的结论
综合以上两步，无论 $a_0 > 0$ 还是 $a_0 < 0$，当 $x \to -\infty$ 和 $x \to +\infty$ 时，$P(x)$ 的极限符号总是相反的。
公式：\lim_{x \to -\infty} P(x) \cdot \lim_{x \to +\infty} P(x) < 0
提示：这里“符号相反”意味着一个趋于正无穷，另一个趋于负无穷。
步骤 5/6
目标：应用连续函数的介值定理
多项式函数 $P(x)$ 在整个实数轴上连续。由极限符号相反可知，存在足够大的 $A < 0$ 和 $B > 0$，使得 $P(A)$ 与 $P(B)$ 异号（例如，当 $a_0 > 0$ 时，$P(A) < 0$，$P(B) > 0$）。根据连续函数的介值定理，在区间 $(A, B)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $P(c) = 0$。
公式：\exists c \in (A, B), \text{使得 } P(c) = 0
提示：介值定理要求函数在闭区间上连续，且端点函数值异号，这里取 $[A, B]$ 即可。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，任何实系数的奇次多项式至少有一个实根。
公式：\text{奇次多项式 } P(x) \text{ 至少有一个实根}
提示：该结论对任意实系数奇次多项式均成立，与具体系数无关。
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