北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
十．（15分）有六个平面
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z= \pm h_{1} \\
a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z= \pm h_{2} \\
a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z= \pm h_{3}
\end{array}\right.
$$
且 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right)=\Delta(\Delta \neq 0)$ ，其中 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, h_{3}$ 为常数．求这六个平面所围的六面体的体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解平面组的几何意义
题目给出了六个平面，它们由三组方程构成：
$$
a_1 x + b_1 y + c_1 z = \pm h_1,\quad a_2 x + b_2 y + c_2 z = \pm h_2,\quad a_3 x + b_3 y + c_3 z = \pm h_3
$$
每组方程代表一对平行平面，因为常数项互为相反数。三个法向量 $\mathbf{n}_1=(a_1,b_1,c_1),\mathbf{n}_2=(a_2,b_2,c_2),\mathbf{n}_3=(a_3,b_3,c_3)$ 线性无关（系数行列式 $\Delta \neq 0$），因此这六个平面围成一个平行六面体。
公式：法向量：$\mathbf{n}_i=(a_i,b_i,c_i)$，行列式 $\Delta = \det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\neq 0$
提示：注意每组平面是平行的，且法向量不共面是围成立体的关键条件。
步骤 2/5
目标：计算每组平行平面之间的距离
对于第一组平面 $a_1x+b_1y+c_1z = h_1$ 和 $a_1x+b_1y+c_1z = -h_1$，法向量模长为 $\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}$。两平行平面距离公式为 $d = \frac{|h_1 - (-h_1)|}{\|\mathbf{n}_1\|} = \frac{2h_1}{\|\mathbf{n}_1\|}$。同理可得：
$$d_1 = \frac{2h_1}{\|\mathbf{n}_1\|},\quad d_2 = \frac{2h_2}{\|\mathbf{n}_2\|},\quad d_3 = \frac{2h_3}{\|\mathbf{n}_3\|}$$
公式：平行平面距离：$d_i = \frac{2h_i}{\|\mathbf{n}_i\|}$
提示：距离公式中分子是常数差绝对值，分母是法向量模长，不要忘记绝对值。
步骤 3/5
目标：引入坐标变换简化问题
作线性变换：
$$
u = a_1x + b_1y + c_1z,\quad v = a_2x + b_2y + c_2z,\quad w = a_3x + b_3y + c_3z
$$
该变换的雅可比行列式为系数矩阵的行列式 $\Delta$，即 $\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \Delta$。因此体积微元满足：
$$dx\,dy\,dz = \frac{1}{|\Delta|}\,du\,dv\,dw$$
公式：雅可比行列式：$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \Delta$，$dx\,dy\,dz = \frac{1}{|\Delta|}\,du\,dv\,dw$
提示：变换行列式非零保证变换可逆，且体积变换需取绝对值。
步骤 4/5
目标：在新坐标系下求六面体体积
在新坐标 $(u,v,w)$ 下，六个平面变为：
$$u = \pm h_1,\quad v = \pm h_2,\quad w = \pm h_3$$
它们围成一个长方体，边长分别为 $2h_1, 2h_2, 2h_3$，因此在新坐标系下的体积为：
$$V_{uvw} = (2h_1)(2h_2)(2h_3) = 8h_1h_2h_3$$
公式：$V_{uvw} = 8h_1h_2h_3$
提示：新坐标下图形是标准长方体，体积直接由边长乘积得到。
步骤 5/5
目标：变换回原坐标系得到最终体积
由体积变换公式 $V_{xyz} = \frac{1}{|\Delta|} V_{uvw}$，代入 $V_{uvw} = 8h_1h_2h_3$，得：
$$V = \frac{8h_1h_2h_3}{|\Delta|}$$
这就是六个平面所围六面体的体积。
公式：$V = \dfrac{8h_1h_2h_3}{|\Delta|}$
提示：最终结果中 $\Delta$ 要取绝对值，因为体积为正；注意 $h_i$ 应为正数（题目中为常数，通常取正）。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
六个平面所围的平行六面体的体积为：
$$\boxed{\dfrac{8|h_1 h_2 h_3|}{|\Delta|}}$$
公式：$$V = \frac{8|h_1 h_2 h_3|}{|\Delta|}$$
提示：最终结果与 $h_i$ 的符号无关，只取决于其绝对值。
步骤 7/7
目标：得出最终体积公式
将上一步结果代入体积表达式：$V = 8 |h_1 h_2 h_3| \cdot |1/\Delta| = \dfrac{8 |h_1 h_2 h_3|}{|\Delta|}$。这就是六个平面所围平行六面体的体积。
公式：$V = \dfrac{8 |h_1 h_2 h_3|}{|\Delta|}$
提示：体积取绝对值，因此 $h_i$ 和 $\Delta$ 都取绝对值。
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