北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）用确界定理证明连续函数根的存在性定理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造集合S并确定其上确界c
设函数\( f(x) \)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\( f(a)<0
公式：c = \sup S = \sup\{ x \in [a,b] \mid f(x) \le 0 \}
提示：确界定理保证非空有上界的数集必有上确界，这是证明的起点。
步骤 2/5
目标：证明c严格介于a和b之间
由\( f(a)<0 \)及连续性，存在\( \delta>0 \)使得在\( [a, a+\delta) \)上\( f(x)<0 \)，故这些点都属于\( S \)，从而\( c \ge a+\delta > a \)。由\( f(b)>0 \)及连续性，存在\( \varepsilon>0 \)使得在\( (b-\varepsilon, b] \)上\( f(x)>0 \)，故这些点都不属于\( S \)，从而\( c \le b-\varepsilon < b \)。因此\( a < c < b \)。
公式：a < c < b
提示：利用连续函数的局部保号性，排除c等于端点的情况。
步骤 3/5
目标：反证法第一步：假设f(c)<0导出矛盾
假设\( f(c)<0 \)。由连续性，存在\( \eta>0 \)使得\( (c-\eta, c+\eta) \subseteq (a,b) \)且在该邻域内\( f(x)<0 \)。取\( x_0 = c+\frac{\eta}{2} \)，则\( x_0 \in S \)且\( x_0 > c \)，这与\( c \)是\( S \)的上确界矛盾。
公式：f(c)<0 \Rightarrow \exists \eta>0, \forall x \in (c-\eta, c+\eta), f(x)<0
提示：注意上确界是S的最小上界，若f(c)<0则c右侧仍有S中的点，与上确界定义冲突。
步骤 4/5
目标：反证法第二步：假设f(c)>0导出矛盾
假设\( f(c)>0 \)。由连续性，存在\( \delta>0 \)使得\( (c-\delta, c+\delta) \subseteq (a,b) \)且在该邻域内\( f(x)>0 \)。则对任意\( x \in (c-\delta, c) \)，有\( f(x)>0 \)，故这些\( x \)都不属于\( S \)。但\( c \)是\( S \)的上确界，意味着在\( c \)左侧任意接近\( c \)处应有\( S \)中的点，矛盾。
公式：f(c)>0 \Rightarrow \exists \delta>0, \forall x \in (c-\delta, c+\delta), f(x)>0
提示：上确界的性质要求c的左侧邻域内必有S中的点，而f(c)>0导致左侧邻域内所有点都不在S中，矛盾。
步骤 5/5
目标：得出结论f(c)=0
由反证法，\( f(c)<0 \)和\( f(c)>0 \)均不可能，故必有\( f(c)=0 \)。又已证\( a
公式：f(c)=0, \quad c \in (a,b)
提示：这是零点定理的核心结论，注意c的唯一性并未证明，只证明了存在性。
步骤 6/6
目标：得出 f(c)=0 并说明 c 在开区间内
由以上两步，\( f(c) \) 既不能大于 0 也不能小于 0，因此 \( f(c) = 0 \). 又因为 \( f(a) < 0 \), 而 \( f(c) = 0 \), 所以 \( c \neq a \); 因为 \( f(b) > 0 \), 所以 \( c \neq b \). 因此 \( c \in (a, b) \). 定理得证。
公式：f(c) = 0, \quad c \in (a, b)
提示：注意排除端点，确保根在开区间内。
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