北京工业大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的收敛域
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$，其系数为 $a_n = n^2$。利用根值法求收敛半径：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2} = 1$，因此收敛半径 $R = 1$。在端点 $x = \pm 1$ 处，通项 $n^2 (\pm 1)^n$ 不趋于零，级数发散。故收敛域为 $|x| < 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2} = 1$，$R = 1$
提示：注意端点处需单独判断，通项不趋于零则级数发散。
步骤 2/5
目标：利用已知等比级数求和公式
已知当 $|x| < 1$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}$。这是后续求导的基础。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}$，$|x| < 1$
提示：注意求和从 $n=0$ 开始，与题目中从 $n=1$ 开始略有不同，但可通过调整下标处理。
步骤 3/5
目标：求 $\sum n x^{n}$ 的和函数
对 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}$ 逐项求导，得 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$。两边乘以 $x$，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$，$|x| < 1$
提示：逐项求导在收敛区间内是合法的，注意求导后下标变化。
步骤 4/5
目标：对 $\sum n x^{n}$ 的和函数求导，得到 $\sum n^2 x^{n-1}$
设 $f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$，则 $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}$。计算导数：$f'(x) = \frac{(1-x)^2 \cdot 1 - x \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{(1-x) + 2x}{(1-x)^3} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$，$|x| < 1$
提示：求导时注意使用商的求导法则或乘积法则，并化简分子。
步骤 5/5
目标：得到最终和函数
将上一步结果两边乘以 $x$，即得 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = x \cdot \frac{1+x}{(1-x)^3} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$，$|x| < 1$
提示：最终结果需注明收敛域 $|x| < 1$。
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